[美]G·波利亚《数学与猜想(第一卷)》作品简介与读书感悟

你是否有这样的一个体会:一道题,自己总也想不出解法,而当我们去问其他学生或者老师时,他们却能快速给出了一个巧妙的解法,这时候我们会想“这个解法并不难时,这种类型我之前也见过,我自己完全可以想出,但为什

你是否有这样的一个体会:一道题,自己总也想不出解法,而当我们去问其他学生或者老师时,他们却能快速给出了一个巧妙的解法,这时候我们会想“这个解法并不难时,这种类型我之前也见过,我自己完全可以想出,但为什么我没有想到呢?”还有“别人是怎么想出这个解法的?”

[美]G·波利亚《数学与猜想(第一卷)》作品简介与读书感悟

在老师上课的时候,数学与猜想读书笔记5000字,为什么很多学生能听懂例题却不能独立思考得出问题的答案,总是要等到提示、点拨后才恍然大悟呢?

这是因为学生不懂得思考的方法,大多数老师讲题总是“头痛医头,脚痛医脚”,只有实战经验,没有形成方法论。但是学生要的不应该是一道道具体的题目,而是面对任何一道题目时的思维方法。其实波利亚早已系统告诫我们了。

波利亚·哲尔吉(1887一1985),著名匈牙利裔美国数学家和数学教育家。他在大量的数学范畴工作,包括级数、数论、组合数学和机率;同时,他长期从事数学教育,对数学思维的普遍规律有深入的研究。

曾著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等,它们被译成多种文字,广为流传。波利亚主张数学教育主要目的之一是发展学生的解决问题的能力,教会学生思考。

当代数学家N. G、德布鲁因(de Bruijn)这样评价他:“波利亚是对我的数学活动影响最大的数学家。他的所有研究都体现出使人愉快的个性、令人惊奇的鉴赏力、水晶般清晰的方法论、简捷的手段、有力的结果。如果有人问我,想成为什么样的数学家,我会毫不迟疑地回答:波利亚。

01、波利亚的数学教育思想概述

[美]G·波利亚《数学与猜想(第一卷)》作品简介与读书感悟

波利亚认为,中学数学教育的根本目的是“教会学生思考”。关于数学发明或者发现的方法,它直接指向数学发明或者发现的过程,探究这一过程中的智力活动的一般规律。

技能与技巧、有益的思考方式、理想的思维习惯。

教师在教学时遵循教学(学习)过程的三个原则,即主动学习,最佳动机,循序渐进。我们需要思考并借鉴的是:

(1)如果头脑不活动起来,是很难学到什么东西的,也肯定学不到更多的东西,所以波利亚的“主动”、“被动”,其实主要是指思维是否活动起来。现在不少学生的学习,还处在模仿水平和记忆水平上,很少达到理解水平,更难达到创造性的水平。教学中,要充分激发学生思维,追求学生思维参与的广度和深度。

(2)“学东西的最好途径是亲自去发现它”,这就是说最富有成效的学习是学生自己去探索、去发现。

波利亚认为学习的三原则同时也是教学的三原则,教师的作用应由传统的传递知识转向推动和促进学生主动学习。与此相应,教师应采用启发式教学法,充当思想的产婆,激发、诱导学生去积极思维,促使他们尽可能地自己去发现。

波利亚曾为中学数学教师开办进修班,他在了解到中学教师需要一个对日常教学直接有所助益的课程。在该课程中,他一再地强调他个人对教师日常工作的看法,最后归纳浓缩成十条规则,亦即他所谓的「十诫」:

(1)要对你讲的课题有兴趣;

(2)要懂得你讲的课题;

(3)要懂得学习的途径,学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现;(4)要观察你的学生的脸色,弄清楚他们的期望和困难,把自己置身于他们之中;

(5)不仅要教给他们知识,并且要教给他们“才智”,思维的方式,有条不亲的工作习惯;

(6)要让他们学习猜测;(7)要让他们学习证明;

(8)要找出手边题目中那些对后来题目有用的特征-即设法去揭示隐藏在眼前具体情形中的一般模型;

(9)不要立即吐露你的全部秘密--让学生在你说出来之前先去猜-尽量让他们自己去找出来;

(10)要建议,不要强迫别人去接受。

波利亚对教师的这十诫,对我们数学课堂教学极具指导意义。我们说,学习是学习者自己的体验与感受,是任何其他人都代替不了的。课堂上,教师就要时时考虑:如何提供学生感兴趣的学习材料,激发他们的好奇心和求知欲,使学生保持旺盛的学习动力;如何把学生“卷”入到教学活动中来,用他们自己的理解方式和思维方式去学习数学,去体验数学,而教师重在启发、引导和帮助,等等。

因此,波利亚强调应该教有目的的思考,教正规的演绎推理,也教非正规的似真的合情推理。

他指出:“第一,我们这里所说的思考不是空想,而是有目的的思考’或‘有意义的思考’或‘有成果的思考’;

第二,数学思考不是完全‘正规的’,它不仅涉及到公理、定义和严格证明,而且还包含许多别的方面:从观察到的情况得出结论、归纳推理、类比推理。在具体情况里辨认数学概念或从具体情况进行数学抽象。数学教师应不失时机地使他的学生熟知这些相当重要的‘非正规的’思想方法。”

在培养学生的独立思考能力方面,波利亚特别注重“思想应该在学生的头脑中产生出来,而教师仅仅应起一个助产婆的作用”,他认为最适宜的教学形式是“苏格拉底问答法”,并倡导了探索式教学法或启发式教学法,认为在教学中最佳的方法就是多问:什么?为什么?哪里?何时与怎样?

链接: https://pan.baidu.com/s/1wyiAVXPdLxqHK5tDkx02Iw 提取码: na3r 《数学与猜想:数学中的归纳和类比》是2001年科学出版社出版的图书,作者是(美)G.波利亚。本书是著名数学家G.波利亚撰写的一部经典名著。书。

波利亚在他长期教学经验的基础上,结合心理学研究的成果,总结出了一套怎样提问,怎样掌握提问的最佳时机和方式等的方法。

他认为,提问应从“一般化的问题和建议开始,逐步转向更特殊更具体的问题和建议,直到学生的头脑中得出答案为止”,“要让学生感受到某种近似于独立探索的体验”。

02怎样解题

美国著名数学家哈尔莫斯曾说过:“数学的真正组成部分是问题和解”。

作者:(美)G.波利亚 译者:李心灿 王日爽 李志尧波利亚,数学家、教育家,曾任美国国家科学院、美国艺术与科学学院院士,匈牙利科学院荣誉院士,伦敦数学会、瑞士数学会、美国工业数学与应用数学学会荣誉会员,法国巴黎科学院。

波利亚也曾指出:“问题是数学的心脏”,“学习数学就意味着掌握解题”。并强调指出“中学数学教学的首要任务是加强解题能力的训练”。

怎样要学会解题?解题的关键在哪里?难点在哪里?怎样抓住问题的本质,直取核心?怎样突破难点,走出瓶颈?这是每个解题者必须面对的问题。

波利亚的数学教育宗旨是“教会年轻人去思考”,阐述他思想的一些世界数学名著被译成了多国文字,其中《怎样解题》一书被译成了十六种文字。

直到今天,该书仍被各国数学教育界奉为经典,波利亚的启发式教学和数学解题方法成为数学教育的一面旗帜,在全世界广为流传。

波利亚在《怎样解题》第一版序言中指出:“数学有两个侧面,它是欧几里德式的严谨科学,但它也是别的什么东西。用欧几里德方式提出来的数学看来像一门系统的演绎科学,但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。

这两个侧面都像数学本身一样古老。但从某一点说来,第二个侧面则是新的,因为以前从来就没有‘照本宣科’地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生、教师自己或公众。”

在学生解题的过程中,“如果学生有进展,教师就不应该问他任何问题,以便让他独立思考;当学生停滞不前,教师就可以找一个适当的问题或建议去帮助他”,而这种帮助应尽量顺乎自然,照顾学生的自尊心,并且这种帮助要适中,帮助太少,问题仍将一无进展,帮助过头,则学生就失去了在自己求解中学习的机会,也使他们失去了品尝自己想出“好念头”的乐趣。

波利亚特别反对提那些“针对性太强的建议”,因为,那将使学生失去积极思考的机会。

波利亚把教会学生解题看作是教会学生思考,培养他们独立探索的一条有效途径。但他认为,一个学生要真正学会解题则必须“观察、模仿他人惯,才能真正学会应该怎样思考问题和解决问题,才能学到解题的方法。

1 《从微分观点看拓扑》J.W.米尔诺 2 无穷小分析引论 Introduction to analysis of the infinite [作者]:欧拉 3 《自然哲学之数学原理》 作者:伊萨克.牛顿 4 几何原本(13卷视图全本) 作者:(古希腊)欧几里得 原著。

波利亚把教会学生去猜想作为培养学生创造能力的一种得力手段。因为一个合情合理的猜想并不是幻想,它需要敏锐的观察能力,深厚的知识功底和积极并富有想象和创造性的思维活动,证明往往是由猜想发现的,猜想往往就是论证推理的先导。

为了贯彻他的教育宗旨,培养学生独立思考、独立研究和创新的能力。

《数学与猜想》(第1卷)通过许多古代著名的猜想,讨论了论证方法,阐述了作者的观点:不但要学习论证推理,也要学习合情推理,以丰富人们的科学思想,提高辩证思维能力,《数学与猜想》(第1卷)的例子不仅涉及数学各学科,也涉。

如何改变目前绝大多数学生只会套用模式解题,对背景稍新的问题束手无策的现状?

波利亚在多年解题和教学经验的基础上提出了著名的“怎样解题”表,将解题过程分为四个阶段。

在这四个阶段中“执行计划”较为容易的,需要的只是解题者的耐心和认真;“弄清问题”则是成功解决问题的前提;“回顾”是最容易忽视的一个环节,通过回顾反思所完成的解答,通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的思路,解题者,可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力,进一步形成认知能力.“拟定计划”才是解决问题的关键所在.

对怎样解题,笔者尤其感慨的是:

1.波利亚主张”不断地变换你的问题”。”

我们必须一再地变化它,重新叙述它,变换它,直到最后成功地找到有用的东西为止”。不断地变更问题,直到它变得易于解决,这是不难体会最朴素最有效的解题的常用方法。

2.数学思想方法的魅力,波利亚说:“完善的思想方法犹如北极星,许多人通过它而找到正确的道路。”

让学生积极主动地经历知识的形成过程,并逐步体验、感悟到知识背后所承载的方法、所蕴涵的思想,学生的头脑中就能留下数学思想及数学思想方法的相关印记,日积月累,这印记便能渐渐明晰起来,并受益终身。

03解题其实也是一种创造

当找到一个方法解决了一道题目,我们同时也应该思考 “你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗?”

有时我们要举一反三,改造一道题目。基本的方法有:普遍化、特殊化、类比、分解和重组等。

数学家笛卡尔说:“我所解决的每一个问题都将成为一个范例,以用于解决其他问题。” 多题一解,总结出解决问题的共性规律,找出各种题目有共性的解题思想,数学思想。

联系日常教学,笔者对波利亚怎样解题的理论受益匪浅,认为有两点是值得注意的:

教学中要减少程式化的机械训练,这种训练过多会僵化学生的数学思维。

教师要教过程,要注重概念、定理的发生、发展过程,要引导学生注重对通性、通法的体验、思考和感悟,重点是思维的灵活性、应用的广泛性和数学知识的视野,要让学生经历、感悟概念的抽象概括过程、定理结论的探索发现过程、解题方法的总结提炼过程、实际问题数学化的过程等等,在这些过程中,逐渐领悟数学的思想、数学的思维方式、数学的方法,并形成数学的理性精神,真正提高数学素养。

题目和某种蘑菇有点相似之处:它们都成串生长。找到一个以后,我们应该四处看看,很有可能在很近的地方又能找到更多的。”

上一篇 2023年02月23 21:57
下一篇 2023年02月11 22:19

相关推荐

  • 托福班学费一般多少钱,小孩学托福学费多少

    托福考试是否有报班的必要?需要根据个人的具体情况来决定。很多同学在备考托福的过程中都会遇到一些问题,特别是自学备考,因此是否报班,还是要看这些情况:如果学习自觉性和学习能力比较好,小孩学托福学费多少,

    2023年03月18 243
  • 德国多少人口,德国普通工人每月工资

    联邦统计局指出,这种强劲增长的原因是创纪录的净移民数量。德媒分析,德国普通工人每月工资,除了乌克兰难民外,来自其他国家的移民也大幅增加。联邦统计局指出,出生人数的下降和死亡人数的增加对2022年德国人

    2023年02月28 290
  • 全年一共有多少天,全年有多少天了

    好消息!农历二月出生的人今年能过三次生日分别是:阳历生日+农历生日+农历“闰二月”生日今年为何会有闰二月?2月20日是365.25天,每4年一闰年,闰年366天。年是与地球在轨道上绕太阳公转有关事件再

    2023年03月02 259
  • 38英寸是多少厘米,38英寸等于多少厘米啊

    美国“动力”网站“战区”专栏8月6日报道称,在美国海军将其电磁轨道炮计划搁置之际,一家雄心勃勃的美国公司正在以3375美元的价格预售所谓的“世界首款也是唯一一款电磁步枪”。据称这种步枪能够使用电磁力量

    2023年03月08 262
  • 怎么下载pdf文件

    九月份来临,秋风瑟瑟,新的学期如期而至。2022年只剩下不到四分之一的时间了,各位小伙伴应该都到达了自己的学校和岗位,开始了新一轮内卷。今时不同往日,大家都已经习惯了使用手机、平板、笔记本电脑等电子产

    2023年05月13 264
  • 211为什么叫211,211为什么叫这个名字

    名字对学校实在是太重要了,因为大多数人都是靠听学校的名字来判断一个学校的实力,你可能也碰到过在高考填志愿时和考研择校的时候有些学校名字听着感觉有点土,但是了解之后才发现这对所学校的实力很厉害,甚至发现

    2023年04月13 290
  • 怎么报考雅思,考雅思不出国还能干啥

    上午考雅思不出国还能干啥,背单词。背单词比较机械,适合一早混沌的大脑,而且早上人的记忆力较强,背单词效率也更高。记得要留半个小时的时间复习昨天的单词、加深记忆哦。阅读练习。计时做真题,做完总结。1、首

    2023年05月30 277
  • 老鼠怎么说,老鼠的英语mouse

    老鼠,一种人类很不喜欢的生物,但是我们生活中的每个地方好像都有他们的存在,俗称“耗子”。今天呢我们关键词就是“老鼠”。都知道英文中“rat和mouse”都有“老鼠”的意思,那两者之间的区别是什么呢?我

    2023年06月05 273
  • 智商最高是多少,中国智商排名前十天才

    第五位,诸葛亮,诸葛亮是三国时期人,杰出的政治家、军事家、发明家、文学家。在青年时期就已经表现出了超出常人的才能,刘备创业初期,为了请诸葛亮出山不惜亲自出马,后来才有了三顾茅庐的千古佳话,他帮助刘备建

    2023年02月26 273
  • 成考多少分,成考一般要考多少分

    成考一般要考多少分,成人高考不同的招生层次考试科目不同,所以总分也不同。成人高考分为高起专、高起本、专升本三种招生层次。高起专:语文、数学(文/理)、外语三门,每门课的满分为150分,总分为450分。

    2023年02月18 281
  • excel怎么编号,excel如何连续自动编号

    对于公司来说,每位员工都有一个员工编号,我们在录入员工数据的时候可以快速录入:2、选择开始-最右侧编辑-填充-序列,设置序列产生在列,excel如何连续自动编号,类型为等差,步长值为1,终止值为最后一

    2023年02月15 227
  • 客运资格证怎么办理,客运从业资格证代办七天拿证

    随着疫情政策的放开,客运从业资格证代办七天拿证,旅游业、酒店业等爆发性发展,道路客运行业也正迎来新的春天!那么什么是道路客运汽车驾驶员?需要考什么证书?道路客运汽车驾驶员的就业前景怎么样?汽车网校来给

    2023年05月24 256
  • 为什么中介哄抢,哄抢还是哄抢

    出品|凤凰网风财讯fengcaixun“大厂们都在裁员,有三个行业却还在抢人——外卖、家政、中介!”最近伴随媒体对深圳中介扩招的报道,这条帖子被推上热门。被视为“楼市晴雨表”的房产中介行业真的开始扩招

    2023年04月22 220
关注微信