士兵们,在远方金字塔的顶上,四千年的岁月在俯视你们!——拿破仑,以色列之旅的感想, 1798 年 7 月 21 日在埃及,
1858 年,苏格兰律师兼文物收藏家莱因德(A. Remy Rhind,1833 一 1863) 在前往尼罗河谷的旅途中买了一份文献,这份文献是几年前在上埃及底比斯城(现在的卢克索附近)的一个小建筑废墟中出土的。这份文献现在被称为《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus),是一本包含84 个数学问题的文集,内容涉及算术、早期代数和几何[1] 。由于莱因德 30 岁时英年早逝,这批文献随后为大英博物馆所拥有,成为永久馆藏。这份纸草书最初被发现时是 548.6厘米长、33.02厘米宽的卷轴,但是当大英博物馆得到它时,一部分已经遗失。然而,十分幸运的是,后来发现这些遗失的部分由纽约历史协会所保存,因此现在可以看到完整的文献。
古埃及的神殿及宝藏,总是令欧洲的旅行者们神往不已。1799 年拿破仑率领军队入侵埃及,虽然以失败告终,但是却为大批的学者、文物研究者和探险者们打开了通往埃及的大门。拿破仑对文化和科学有着浓厚的兴趣,他的幕僚中有众多各个领域的学者,其中就有数学家傅里叶(我们在后面还会谈到他)。这些学者在整个埃及搜罗古代的宝藏,凡是能带走的都带回了欧洲。他们最著名的发现,就是在尼罗河三角洲最西端的小镇拉希德(欧洲人称之为罗塞塔)附近发掘出的一块巨大玄武岩石碑。
德国学者埃森洛尔最先将莱因德纸草书翻译成现代语言,英译版则由皮特所译, 1923 年在伦敦出版[2] 。但是影响最广泛的版本则是由蔡斯于 1929 年完成的。蔡斯原本是一个美国商人, 1910 年的埃及之行使他成 为一位埃及古物学者。正是通过他的版本,莱因德纸草书才被普通大众所知道。[3]
本书是在第 33 年洪水泛滥季节的第四个月所抄录的,时值上下埃及统治者阿屋赛瑞法老时代,它以相似的形式,为上下 埃及统治者奈马特瑞时代的文献赋予新的生命。抄录者是阿梅斯。[4]
上面提到的第一位法老阿屋赛瑞,已经确认是希克索斯王朝的君王之一,大约生活在公元前 1650 年左右。第二位法老奈马特瑞是阿美尼赫特三世,统治时期是公元前 1849 年至公元前 1801 年,这一时期被称为中王国时代。因此我们可以确定出原著和抄录的确切时间,这份文献写于将近四千年前,是目前所知年代最早、内容最广泛的古代数学文献 之一。[5]
这本著作在一开始就展现了作者的宏大愿景:计划向读者提供一个 “对所有事物全面而彻底的研究,洞察所有存在的事物,知晓所有的秘密”[6] 。即使这些愿望未能很好地实现,这本著作仍然使我们能够对古埃及数学有非常深刻的领悟。文献中所列出的 84 个问题涵盖算术、口述代数(求出未知量)、测量(面积和体积计算),甚至还有等差及等比数列。那些习惯于希腊数学形式结构(定义、公理、定理和证明)的人,一定会对莱因德纸草书的内容感到失望,因为这里既没有提出可以应用到某一类问题上的一般规则,也没有根据先前事实逻辑推导出来的结果。相反,问题都是给出特定值的特定例子。它们几乎都是“叙述型问题“,处理的都是很平凡的事物,比如求出一块田地的面积,一个粮仓的容积,或者是如何在许多人当中分配一定数量的面包等。显然,这本著作是书吏学校的一本习题集,因为当时只有皇室书吏阶级才能从事文字工作,包括阅读、书写和算术,也就是我们现在的“3R”[7] 。该纸草书还包含了一个看上去没有实际用途的问题,其目的显然是挑战和娱乐读者(见本章后的“古埃及的数学娱乐”)。
莱因德纸草书的开头是两个表:一个是 2 被 3 到 101 之间所有奇数除的 除法表,另一个则是整数 1 到 9 被 10 除的除法表。所有答案都是以单位分数(分子是 1 的分数)的形式给出的。不知道是出于什么原因,这是古埃及人所知道的用来处理分数的唯一方式, 2/3 是一个例外,它本身被视作 一个基本的分数。他们花费大量的功夫和技巧将一个分数分解成单位分 数的和。例如, 6 被 10 除的结果是 l/2+1/10,7 被 10 除的结果是 2/3+ 1/30 [8] 。
当然,古埃及人并没有使用我们现代的符号来表示分数,他们在整数上加一个点(或者在象形文字上加一个椭圆圈)来表示该整数的倒数。他们也没有表示加法的符号,单位分数简单地并列写在一起就表示它们相加[9]。
该文献接下来处理的是包含减法(称为“求全”)和乘法的算术问题, 以及求解未知量的问题。这些问题统称为“啊哈” 问题,因为它们通常以字母 h (发音 aha 或者 hau) 开头,所代表的意思可能就是要找出的“未知量”[10]。例如,第 30 个问题问:“如果问,什么数的 2/3+1/10 是 10,请告诉他。”文献中记载的答案是 13+1/23,并且在后面列出一个证 明过程(我们现今称之为“验证”),来证明这确实是一个正确答案。用现代的语言来说,第 30 题等同于解方程 。这类线性方程用所谓的“试位法”来求解:假设用一个合适(容易算)的数字表 示 (比如 30),代入到方程中。则等式左边变成 23,不等于 10。又因为 23 必须乘以 10/23 才能得到 10,所以正确的解应该是 10/23 乘以假设的值, 也就是 x=300/23=13+1/23。可见,在现代代数符号出现之前约 3 500 年, 埃及人就已经掌握了一种能够有效求解线性方程的方法[11] 。
我们特别感兴趣的是第 56 题到第 60 题,这几道题都与埃及最著名的名胜古迹金字塔有关,并且所有的问题都用到了单词“塞克特” (seked,参见图 1) [14] 。这个单词的意思我们随后就会知道。
第 56 题说:“如果一个金字塔高 250 腕尺,底边的边长 360 腕尺,则它 的‘塞克特’是多少?”阿梅斯的解答如下:
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则塞克特是 掌即
让我们来分析一下这个解。显然, 360 的 1/2 (即 180),是金字塔正方形底边长的一半(参见图 2) 。”为了得到 180,乘以 250" 的意思是,找出一个数 使得 250 乘以等于 180,因此可得 x= 。但是埃及数学家要求所有的答案都必须以单位分数的形式给出,而 1/2 、1/5 和 1/50 的和正好是 18/25,所以这个数值是金字塔底边长的一半与金字塔的 高之比,也就是金字塔侧面的横宽对纵高(run-to-rise) 之比。事实上, 阿梅斯发现的这个量(塞克特),就是金字塔的底面与侧面夹角的余切值[16]。
有读者可能马上会产生两个疑问。首先,为什么他不像我们今天的做法一样求出这个比率的倒数,也就是纵高对横宽之比呢?答案是,人 们在建造垂直建筑物时,会很自然地去度量当高度增加一单位时,水平方向与垂线的偏离程度,也就是横宽对纵高之比。这确实是建筑学的实际做法,他们用“直倾斜”(batter) 来度量一面想象中的竖直墙的内倾斜率。
其次,为什么阿梅斯要把他的答案乘以 7 呢?其原因是,金字塔的建造者们在测量水平距离时常用“掌”或者“手”作为单位,而测量垂直距离则用腕尺作为单位。1 腕尺等于 7 掌,因此所求出的“塞克特”值 是以每腕尺的“掌数”为单位给出的横宽对纵高之比。当然,我们今天 25 只是将这些比率视作纯数字。
为什么横宽对纵高之比被认为如此重要,以至于被赋予一个专有名词,并且在纸草书中占用了四个题目?原因在于,金字塔建造者必须保持每个面相对水平面的倾斜度是一致的。这可能在纸上看着非常容易, 但是一旦开始实际建造,建筑工人就必须经常检查他们的进度,以确保在施工过程中保持所需的倾斜度。也就是说,每一个面的“塞克特”值必须一样。
第 51 题是第 56 题的相反问题:给出“塞克特”的值和底边的边长,然后求高。第 58 题和 59 题与 56 题类似,得到“塞克特”的值是 掌(每腕尺),所不同的是,答案以 5 掌 l 指(finger,1 掌等于 4 指)来表示。最后,第 60 题是求一个高 30 腕尺、底 15 腕尺的柱子的“塞克特”值。我们不知道该柱子是金字塔形状,还是圆柱形(如果是此情形, 15 则是底面的直 径)。然而不论是哪种情况,答案都是 1/4 。
第 56 题中求出的“塞克特”是 18/25 (无量纲单位),对应着底与面的夹角是 54°15' 。第 58 题和 59 题所求出的“塞克特”转换成无量纲单位就是 ,即 3/4,对应的角是 53°8' 。将这些数字与吉萨的一些金字塔的实际角度相比较,可以得到以下有趣的结果[17] 。
基奥普斯金字塔:51°52'
切夫伦金字塔:52°20'
迈锡里努斯金字塔:50°47'
这些数字与例题中算出的结果非常接近。至于第 60 题中的柱子,它 的角度则大多了,当然也和我们对这种建筑的预期相吻合: 。
如果因此说埃及人发明了三角学,这未免有些可笑了。在埃及的文献中,没有一处谈到角的概念,因此埃及人尚没有能力去构造三角形中边与角的数量关系。然而,引用蔡斯的话:“在公元前 18 世纪初,可能甚至还要比这早一千年,当大金字塔开始建造时,埃及的数学家们就已经知道,以一个直角三角形的一边作为度量单位(即标准),来讨论直角三角形的相似关系。”因此我们可以公平地认为,埃及人已经有了实用三角学(可能“原始三角学”是一个更为恰当的词)的粗略概念,这比希腊人开始考虑这个课题并将它视为应用数学的重要工具,要早两千多年!
注释及资料来源
[2] 皮特的英译本为 The Rhind Mathematical Papyrus,British Museum 10057 and 10058: Introduction,Transcription,Transation and Commentary (London,1923) 。
[4] 参见 Chase,Rhind Mathematical Papyrus,p. 27。
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[6] 引用自 van dcr Waerden,Science Awakening,p. 16,Waerden 显然是引用了 皮特的版本。这与蔡斯的翻译略有不同(参见 Rhind Mathematical Papyrus,p. 27)。
[7] 参见 van der Waerden,Science Awakening,pp. 16-17。
[8] 注意,分解不是唯一的:7/10 也可以写成 1/5+1/2。
[10] 参见 Chase,RhindMathematical Papyrus,pp. 15-16;以及 van der Waerden,Science Awakening,pp. 27-29。[11] 参见 Gillings,Mathematics. 154-161。
1918年5月,首次用“鲁迅”为笔名,发表中国现代文学史上第一篇白话小说《狂人日记》,对吃人的封建制度进行猛烈地揭露和抨击,奠定了新文学运动的基石。二、鲁迅主要作品有:《呐喊》、《坟》、《热风》、《彷徨》、《野。
[14] 读成 “saykad"或者 “sayket"。
[15] Chase,Rhind Mathematical Papyrus,p. 51。
[16] 参见上一本书的第 21 页至第 22 页,有另一种解释。
[17] 参见 Mathematics,p. 187。
三角之美:边边角角的趣事
[以]伊莱·马奥尔 著
曹雪林 边晓娜 译
人民邮电出版社
1962年开始发表作品。在海内外出版过史论专著多部,曾被授予“国家级突出贡献专家”、“上海市十大高教精英”等荣誉称号。近年来在教学和学术研究之余所著散文集《文化苦旅》先后获上海市文学艺术优秀成果奖、台湾联合报读书最佳书奖、上海。
内容提要:三角学是一个古老的数学分支,它美丽而又神秘。本书从历史发展的角度展现了三角学与其他诸多学科的紧密联系,阿涅西的女巫、高斯的启示、芝诺的遗憾……一连串有趣的故事构成了一幅美丽的画卷。全书共15章,历史、理论、趣闻、应用尽含其中,涵盖了三角学的所有精华部分。品读此书,你会感叹数学之美、人类之聪慧、科学发展之不易。本书适合所有对数学特别是三角学感兴趣的读者阅读。
传播数学,普及大众
《我与地坛》是一篇长篇哲思抒情散文,中国当代作家史铁生著。这部作品是史铁生文学作品中,充满哲思又极为人性化的代表作之一。其前第一段和第二段被纳入人民教育出版社的高一教材中。是作者十五年来摇着轮椅在地坛思索的结晶。
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