01 引言
作为金融时间序列的专题推文，【手把手教你】时间序列之日期处理主要介绍了使用Python处理时间序列的日期和统计分析；【Python量化基础】时间序列的自相关性与平稳性主要介绍了时间序列的一些基础概念，包括自相关性、偏自相关性、白噪声和平稳性；而【手把手教你】使用Python玩转金融时间序列模型主要介绍了AR、MA、ARMA和ARIMA模型的基本原理与Python的实现。从上一篇推文不难看出，使用ARMA等模型对股票收益率的时间序列建模效果不是很理想，主要在于忽略了时间序列的异方差和波动聚集特性。所谓波动性聚集，是指金融时间序列的波动具有大波动接着大波动，小波动接着小波动的特征，即波峰和波谷具有连续性。ARCH和GARCH模型正是基于条件异方差和波动聚集的特性建模的。本次推文着重介绍 ARCH和GARCH模型的基本原理及其Python实现。
02 股票收益率时间序列特点
在介绍ARCH和GARCH模型之前，我们先来看看金融资产收益率的时间序列有哪些比较突出的特点。仍然以沪深300指数为例，考察其收益率时间的分布和统计特性。下面的Python代码与上一篇推文类似，包括导入需要用到的库、定义画图函数和使用tushare获取数据等。
import pandas as pdimport numpy as npimport statsmodels.tsa.api as smt 画图import matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib as mpl%matplotlib inlinematplotlib官方提供了五种不同的图形风格， fivethirtyeight和grayscale with plt.style.context('ggplot'):fig = plt.figure(figsize=(10，8)) layout = (3，2) ts_ax = plt.subplot2grid(layout，(0，0)) acf_ax = plt.subplot2grid(layout，(1，0)) pacf_ax = plt.subplot2grid(layout，(1，1)) qq_ax = plt.subplot2grid(layout，(2，0)) pp_ax = plt.subplot2grid(layout，(2，1)) data.plot(ax=ts_ax) ts_ax.set_title(title+'时序图') smt.graphics.plot_acf(data，lags=lags，ax=acf_ax，alpha=0.5) acf_ax.set_title('自相关系数') smt.graphics.plot_pacf(data，lags=lags，ax=pacf_ax，alpha=0.5) pacf_ax.set_title('偏自相关系数') sm.qqplot(data，line='s'，ax=qq_ax) qq_ax.set_title('QQ 图')scs.probplot(data，sparams=(data.mean()， data.std())，plot=pp_ax) pp_ax.set_title('PP 图')plt.tight_layout() return
使用tushare获取沪深300交易数据
![[美]RueyS.Tsay《金融时间序列分析》作品简介与读书感悟](http://img.tianshugan.com/tsg/tp/11.jpg)
import tushare as tstoken='输入你的token'pro=ts.pro_api(token)df=pro.index_daily(ts_code='000300.SH')df.index=pd.to_datetime(df.trade_date)del df.index.namedf=df.sort_index()df['ret']=np.log(df.close/df.close.shift(1))#df.head()ts_plot(df.ret.dropna()，lags=30，title='沪深300收益率')
从上图可以看出，沪深300指数收益率时间序列呈现出以下几个现象，具有一定的普遍性。
自相关性比较弱，但对其进行变换后，如取平方、绝对值等，则表现出很强的自相关性（见后文）；
收益率的条件方差（Conditional Variance）随着时间而变化，即存在条件异方差的特征。
收益率序列的波动具有持续性，即存在波动集聚（Volatility Clustering）的现象。比如2007-2008、2015-2016、2019具有较大的波动性。
QQ图显示，收益率并不服从正态分布，极端值较多，具有厚尾的现象。
03 ARCH模型
ARCH模型全称是自回归条件异方差模型，Autoregressive Conditionally Heteroskedastic Models - ARCH(p)，是Engle在1982年分析英国通货膨胀率时提出的模型，主要用于刻画波动率的统计特征。
一般先假设收益率序列满足某个经典时间序列模型（MA、AR或ARMA），以AR（1）模型为例：
《金融时间序列分析》是机械工业出版社2006年出版的书籍，作者蔡瑞胸。该书主要介绍了计量经济学和统计学文献中出现的金融计量方法方面的最新进展，强调实例和数据分析。内容简介 特别是包含当前的研究热点，如风险值、高频数据分。
收益率yt的波动率（条件方差）可以使用残差项的波动率进行刻画：
1)金融时间序列分析(第2版)-(美)Ruey.S.Tsay 2)金融市场计量经济学(第1版)-(美)约翰.Y.坎贝尔等 3)金融时间序列的经济计量学模型(第二版)-(英)特伦斯.C.米尔斯 4)计量经济模型与经济预测(第4版) 计量经济。
为了刻画资产收益率的这种波动特性，可以令残差项的条件方差与过去残差项的平方相关。因此，ARCH（p）模型可以表示为：
其中，w是均值为0，方差为1的独立同分布时间序列。
且满足一定条件使得的无条件方差有限。ARCH(p)模型能够很好地刻画金融资产收益率序列的波动特性和厚尾现象，但是其本身并不能用来解释金融资产收益率为何有这样的特征。关于ARCH模型的估计此处不详细展开，感兴趣的可以参见Ruey S. Tray的《金融时间序列分析》和计量经济学教材。下面简要介绍ARCH模型的建模步骤：
（1）检验收益率序列是否平稳，根据自相关性建立合适的均值方程，如ARMA模型，描述收益率如何随时间变化，根据拟合的模型和实际值，得到残差序列。
（2）对拟合的均值方程得到的残差序列进行ARCH效应检验，即检验收益率围绕均值的偏差是否时大时小。检验序列是否具有ARCH效应的方法有两种：Ljung-Box检验和LM检验。
（3）若ARCH效应在统计上显著，则需要再设定一个波动率模型来刻画波动率的动态变化。
（4）对均值方差和波动率方差进行联合估计，即假设实际数据服从前面设定的均值方差和波动率方差后，对均值方差和波动率方差中的参数进行估计，并得到估计的误差。
（5）对拟合的模型进行检验。如果估计结果（残差项）不满足模型本身的假设，则模型的可用性较差。
下面使用Python模拟ARCH模型并对沪深300收益率的ARCH效应进行统计检验。
# 模拟ARCH时间序列np.random.seed(2)a0 = 2a1 = .5y = w = np.random.normal(size=1000)Y = np.empty_like(y)for t in range(1，len(y)): Y[t] = w[t] * np.sqrt((a0 + a1*y[t-1]**2))ts_plot(Y，lags=30，title='模拟ARCH')
def ret_plot(ts，title=''): ts1=ts**2 ts2=np.abs(ts) with plt.style.context('ggplot'):fig = plt.figure(figsize=(12，6)) layout = (2，1) ts1_ax = plt.subplot2grid(layout，(0，0)，colspan=2) ts2_ax = plt.subplot2grid(layout，(1，0)) ts1.plot(ax=ts1_ax) ts1_ax.set_title(title+'日收益率平方') ts2.plot(ax=ts2_ax) ts2_ax.set_title(title+'日收益率绝对值') plt.tight_layout() returnret_plot(df.ret.dropna()，title='沪深300')
从沪深300的日收益平方和绝对值走势图可以看出，存在较明显的波动聚集的现象，初步可以判断出沪深300日收益序列存在ARCH效应。下面使用Ljung-Box统计量对收益率平方的自相关性进行统计检验。计算Q统计量和LB统计量都是用python中statsmodels模块acorr_ljungbox方法. 默认情况下，acorr_ljungbox只计算LB统计量，只有当参数boxpierce=True时，才会输出Q统计量。由LB白噪声检验可以看出，Q统计量的p值都在0.05以下，表明原假设成立的概率极小，可以拒绝沪深300收益率的平方是白噪音序列的原假设，说明原序列（沪深300收益率）存在ARCH效应。
def whitenoise_test(ts): '''计算box pierce 和 box ljung统计量''' from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox q，p=acorr_ljungbox(ts) with plt.style.context('ggplot'):fig = plt.figure(figsize=(10，时间序列分析金融应用，4)) axes = fig.subplots(1，2) axes[0].plot(q，label='Q统计量') axes[0].set_ylabel('Q') axes[1].plot(p，label='p值') axes[1].set_ylabel('P') axes[0].legend() axes[1].legend() plt.tight_layout() returnret=df.ret.dropna()whitenoise_test(ret**2)
04 GARCH模型
GARCH模型是Bollerslev在1986年提出来的，全称为广义自回归条件异方差模型，Generalized Autoregressive Conditionally Heteroskedastic Models - GARCH(p，q)，是ARCH模型的扩展。GARCH模型认为时间序列每个时间点变量的波动率是最近p个时间点残差平方的线性组合，与最近q个时间点变量波动率的线性组合加起来得到。即GARCH模型的条件方差不仅是滞后残差平方的线性函数，还是滞后条件方差的线性函数，因而GARCH模型适合在计算量不大时，方便地描述高阶的ARCH过程，具有更大的适用性。
其中。
为白噪音。
金融数学的专业技能性就更强，就毕业的出路的话，工作去银行金融机构累积经验，可朝业务和技术两个方面发展，也可以考研加强专业技能的学习 数学，先把数分、高代、概率、数理统计用半年到一年的时间吃透，第二年在此基础上。
否则模型将是非平稳的。GARCH模型的估计与ARCH模型类似，具体推导过程参见计量经济学相关书籍。在实际应用中，GARCH(1，1)和GARCH(2，1)一般可以满足对自回归条件异方差的描述。下面使用Python对GARCH(1，1)模型进行模拟和估计。
Python中的ARCH包
先来看下arch包中arch_model函数各参数的含义以及模型设定方法。
arch.arch_model(y，x=None，mean='Constant'，lags=0，vol='Garch'，p=1，o=0，q=1，power=2.0，dist='Normal'，hold_back=None)
各参数含义:
y : 因变量。
x : 外生变量，如果没有外生变量则模型自动省略。
mean: 均值模型的名称，可选: ‘Constant’，‘Zero’，‘ARX’ 以及 ‘HARX’。
lags:滞后阶数。
vol :波动率模型，可选: ‘GARCH’ （默认），‘ARCH’，‘EGARCH’，‘FIARCH’ 以及 ‘HARCH’。
p :– 对称随机数的滞后阶，即扣除均值后的部分。
o ：非对称数据的滞后阶。
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q ：波动率或对应变量的滞后阶。
power：使用GARCH或相关模型的精度。
dist：误差分布，可选：正态分布: ‘normal’，‘gaussian’ (default)；学生T分布: ‘t’，‘studentst’；偏态学生T分布: ‘skewstudent’，‘skewt’；通用误差分布: ‘ged’，‘generalized error”。
hold_back：对同一样本使用不同的滞后阶来比较模型时使用该参数。
5. 金融时间序列分析，Ruey.s.Tsay,机械工业出版社，2006.4 6. 微观金融学及其数学基础，昭宇，清华大学出版社，2003.11 7. 计量经济分析方法与建模：Eviews应用与及实例，高铁梅，清华大学出版社，2006 五． 固定收益 。
res.resid.plot(figsize=(12，5))plt.title('沪深300收益率拟合GARCH(1，1)残差'，size=15)plt.show()res.conditional_volatility.plot(figsize=(12，5)，color='r')plt.title('沪深300收益率条件方差'，size=15)plt.show()
Ruey S.Tsay(蔡瑞胸)美国芝加哥大学布斯商学院经济计量及统计学的H.G.B.Alexander讲席教授。1982年于美国威斯康星大学麦迪逊分校获得统计学博士学位。中国台湾“中央研究院”院士，美国统计协会和数理统计学会的会士，Journal Of。
05 结语
本文简要介绍了ARCH和GARCH模型的基本原理和Python实现，关于其应用还有待进一步拓展和挖掘。ARCH和GARCH模型能够较好的刻画金融资产收益率的波动性聚集和厚尾现象，因此在量化投资上的应用主要表现在波动率的估计上，尤其是金融工程（期权波动率）和风险管理（VaR模型）的应用上。同时，我们也注意到，ARCH和GARCH模型在应用中也存在一定的局限性和不足：首先，模型假定波动是对称的，即过去的波动对现在条件方差的影响是相同的，但学术上的实证结果却表明，当坏（好）消息发布时，股票收益率的波动会增加（减小）；其次，模型对参数的限制条件较强，尤其是高阶模型，参数需要满足的约束非常复杂。最后，模型并没有提供关于波动率变化的更进一步解释，而仅仅是拟合波动率变化的统计行为。针对现有模型的不足，学者们在GARCH模型的基础上又提出了一系列模型，简称GARCH模型族，包括IGARCH、TGARCH、EGARCH等，更复杂的还有BEKK-GARCH、Coupla-GARCH等模型。当然，模型并非越复杂越好，特别地，学术上用到的复杂模型，在现实的量化投资中能用到的往往很少。
Analysis of Financial Time Series(中文版《金融时间序列分析》第3版），作者：Ruey S. Tsay.
statsmodels官方文档。
Time Series Analysis (TSA) in Python - Linear Models to GARCH.
蔡立耑.《量化投资以Python为工具》.电子工业出版社.2017.
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