一. 机器数和真值
在学习原码，反码和补码之前，需要先了解机器数和真值的概念.
1、机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号，正数为0，负数为1.
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。
那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
2、真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
二. 原码，反码，补码的基础概念和计算方法.
如果是正数，原码和反码相同；如果是负数的话，符号位不变，其它各位按位取反（也就是说原来是1就变成0，原来的数是0就变成1）。
在探求为何机器要使用补码之前，让我们先了解原码，反码和补码的概念.对于一个数，计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码，反码，补码是机器存储一个具体数字的编码方式.
1. 原码
原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值. 比如如果是8位二进制:
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位. 因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是:
[1111 1111 ，0111 1111]
即
[-127 ，127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.
2. 反码
反码的表示方法是:
正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反.
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反
可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.
3. 补码
补码的表示方法是:
正数的补码就是其本身
负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1. (即在反码的基础上+1)
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.
三. 为何要使用原码，反码和补码
在开始深入学习前，我的学习建议是先&34;上面的原码，反码和补码的表示方式以及计算方法.
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:
[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补
所以不需要过多解释. 但是对于负数:
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
可见原码，反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢?
首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算，要设计的尽量简单. 计算机辨别&34;显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 ，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了.
于是人们开始探索 将符号位参与运算，并且只保留加法的方法. 首先来看原码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2
如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.
为了解决原码做减法的问题，出现了反码:
计算十进制的表达式: 1-1=0
发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在&34;这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.
于是补码的出现，解决了0的符号以及两个编码的问题:
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原
这样0用[0000 0000]表示，而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，[1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原，这是不正确的)
使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为[-127，+127]，而使用补码表示的范围为[-128，127].
因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的32位int类型，可以表示范围是: [-231，231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
四 原码，反码，补码 再深入
计算机巧妙地把符号位参与运算，并且将减法变成了加法，背后蕴含了怎样的数学原理呢?
将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点，我希望将时间设置成4点，需要怎么做呢?我们可以:
1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4
2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4
2，3方法中的mod是指取模操作，16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.
所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!
现在的焦点就落在了如何用一个正数，来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪，发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.
首先介绍一个数学中相关的概念: 同余
同余的概念
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作 a ≡ b (mod m)
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
举例说明:
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4，16，28关于模 12 同余.
负数取模
正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?
下面是关于mod运算的数学定义:
x mod y = x - y L x / y J
上面公式的意思是:
x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.
以 -3 mod 2 举例:
-3 mod 2
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
所以:
(-2) mod 12 = 12-2=10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
开始证明
再回到时钟的问题上:
回拨2小时 = 前拨10小时
回拨4小时 = 前拨8小时
回拨5小时= 前拨7小时
注意，这里发现的规律!
结合上面学到的同余的概念.实际上:
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2与10是同余的.
(-4) mod 12 = 8
-4与8是同余的.
距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数，只需要运用同余数的两个定理:
反身性:
a ≡ a (mod m)
这个定理是很显而易见的.
线性运算定理:
如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
如果想看这个定理的证明，请看:
所以:
7 ≡ 7 (mod 12)
计算机中，只有补码，没有原码和反码。数字，在计算机中，一律用补码表示。数字与补码的关系，可见下表：换算公式，很简单的，一看便知。原码反码取反加一，实际上，都没有什么用处。老外数学不好，才不得不用这么麻烦的做法。
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
现在我们为一个负数，找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10，而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) ，即计算结果的余数相等.
接下来回到二进制的问题上，看一下: 2-1=1的问题.
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反
先到这一步，-1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码，则[1111 1110]原 = -126，这里将符号位除去，即认为是126.
发现有如下规律:
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
两个数进行二进制反码求和的运算，它的规则是从低位到高位逐列进行计算。0和0相加是0但要产生一个进位1，0和1相加是1，1和1相加是0。若最高位相加后产生进位，则最后得到的结果要加1。举例：已知X = + 1101 , Y 。
即:
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数，正式我们的期望的计算结果: 2-1=1
所以说一个数的反码，实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制，而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样，转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补
如果把[1111 1111]当成原码，去除符号位，则:
[0111 1111]原 = 127
其实，在反码的基础上+1，只是相当于增加了膜的值:
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此时，表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128，128].
但是由于0的特殊情况，没有办法表示128，所以补码的取值范围是[-128，127]
本人一直不善于数学，所以如果文中有不对的地方请大家多多包含，多多指点!
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