所谓阶乘，就是指：
我们规定，，下面是十以内的阶乘列表。
说来也奇怪，「把前面正整数都乘起来」，这似乎是刚学乘法的小朋友会提出的问题。数学家为什么要专门定义这种运算？
阶乘与计数原理
数学的世界总是出人意料地好玩，这看似是一个「玩笑」，然而在组合数学中，阶乘是一个基本而又关键的概念。从一个最基本的问题出发：
把个不同的小球排成一列，总共有多少种排列方法？
顺便我们介绍组合的概念：从个不同的小球中选取个小球的方式有多少种，我们将这个问题的答案记为
在这里我不得不提及排列中著名的「错排问题」：
邮递员将封不同收件人的信，全部放错邮箱的情况数？
通过简单的容斥原理
可以计算。其中表示集合的元素个数。
在错排问题中，我们可以设表示第个邮箱放对信的全部情况，于是信都投错的情况恰是(De Morgan定律)
由上述所说的全排列容易计算：
……
利用上面已知的信息，代入容斥原理计算公式可得
再由集合互补的关系可得
这就是错排问题的答案。
进一步，我们求错排的概率的话——
随着信件数的增加，这个概率会趋于一个常数
也就是说当充分大时，这位粗心的邮递员全部投错邮箱的概率居然高达！（这是一个表示惊叹的叹号）
从这个问题就看得的出，阶乘和自然对数的底有着极为深厚的渊源，顺便提一下一个著名的关于的级数表达式
阶乘与初等数论
关于阶乘的故事还有很多，接下来我们从初等数论的角度谈一谈。
这个古怪的公式提供了质因数分解中质数的指数的算法，习惯上使用如下符号表示
这个公式的证明不难，主要是利用了取整函数的特性。
既然大于的阶乘是合数，那它有没有可能是一个完全平方数？答案是：否。
利用上面的公式，我们可以给出一个简单的证明。
实际上我们只要证明：不超过但离最近的质数，有
证明：分两种情况：
若（质数集合），则命题显然；
若，设是不超过却离最近的质数，现在只需证明即可，于是便有
提起阶乘和素数，不得不说威尔逊定理(wilson's Theorem)——
正整数是质数的充要条件：
因为文章篇幅所限，还有大量关于阶乘的初等数论的结论就不一一列举了。
阶乘与高等数学
接下来关于阶乘的内容涉及大量微积分的内容，我们就点到为止。
虽然这是一个渐近表达式，但是足以应付常见的极限问题。在《阶的估计基础》(潘承洞、于秀源著)中有更为精确的公式与推导过程。
阶乘最关键的发展，毫无疑问归功于欧拉引入的积分，后世称之为欧拉第一积分：
伽马函数图像
欧拉积分所定义的函数叫伽马函数。非常神奇的是，这个函数正是阶乘的「连续光滑版本」，即
由伽马函数的定义，通过一系列分析的手段可以得到斯特林公式；当然，最引人瞩目的便是阶乘和再次产生了奇妙的缘分。
伽马函数实际上还可以推广为复变函数，并且其具有某种深刻的对称性——余元公式：
——阶乘和圆周率也产生联系了。后来大数学家黎曼将其与他的泽塔函数联系在了一起：
在维球体积公式中，也有伽马函数（阶乘）的倩影：
我在专栏里曾写过一篇文章《来自无穷维的雨点——正态分布的几何模型》[]，其中考虑的是这样一个问题
设单位球中的点，考虑投影映射，于是投影至一维直线上，形成的密度函数有何特点？
高维球内的点投影至1维空间示意图
蒙特卡罗模拟7维的情况
从图像中就可以看出密度曲线是标准的钟形分布，最后我在文中证明了其与正态分布的联系：
而伽马函数（阶乘）依然起到了枢纽的作用，并且我们再次看到了老朋友.
总结
尽管学过乘法的小学生就可以计算阶乘，然而阶乘的身上仍然充斥着未解之谜。本文从中学生较为熟悉的排列组合以及初等数论入手，然后又介绍了其「高阶版本」——伽马函数，展示了其在高等数学中无处不在的身影，体现出数学一以贯之的美感。
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