十二，递推数列规律总结
（一）倍数递推数列规律总结
规律1：a1*n+n=a2(n为连续自然数）。
例1：12，13，28，87，352，（1765）
规律2：a1*3-(首项为1，公差为-2的等差数列)=a2。
例1：1，4，11，30，85，（248）
规律3：a1*首项为2的连续自然数-首项为1的连续自然数=a2。
例1：2，3，7，25，121，（721）
规律4：（a2-a1)*3=a3。
例1：3，7，12，15，9，-18，（-81）
规律5：（a2-a1）*5=a3。
例1：3，5，10，25，75，（250），875
规律6：（a1-a2）*2=a3。
例1：3，5，-4，18，-44，（124）
思路：有正有负，考虑递推倍数。
规律7：（a1+a2)*2=a3。
例1：-1，1，0，2，4，12，（32）
例2：2，3，10，26，72，（196）
√7等于2.64575131106459。根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。若aⁿ=b，那么a是b开n次方的n次方根或a是b的1/n次方。开n次方手写体和印刷体用表示，被开方的数或代数式写在符号左方√￣的。
例3：2，6，16，44，（120），328
例4：3，2，10，24，（68），184
规律8：（a1+a2）的平方=a3。
例1：1，-3，4，1，25，（676）
例2：-1，0，1，1，4，（25）
规律9：a1*2+-5=a2（数位项是奇数则+5，偶数则-5）。
例1：7，9，23，41，87，（169）
规律10：a1-a2*2=a3。
例1：143，59，25，9，7，（-5）
规律11：a1*a2=a3。
例1：-2，-1，2，-2，（-4），8
例2：2，3，6，18，（108），1944
解：根号7，即√7≈2.64575.7^(1/2)=2.6457513110646。可用计算器去做，如手头没有计算器可试用笔算开平方。小数点后每上两个0为一位，将上一位的商扩大2倍，再上新的商数，(原已经扩大2倍的商位不要再扩大)。
规律12：（a1+a2）*a1=a3。
例1：1，2，3，10，39，（490）
（二）做商递推数列规律总结
规律1：a2/a1=a3。
例1：0.25，0.5，2，（4），2，0.5
（三）做差递推数列规律总结
规律1：（a2-a1)的平方=a3。
例1：5，7，4，9，25，（256）
思路：（数列特点）先增后减再增，考虑做差递推数列。
（四）圈3递推数列规律总结
规律1：（a1*a2)/2=a3。
例1：2，1，1，1/2，1/4，（1/16）
思路：从数字特征来看，有整数有分数，且整数与分数数量相同，考虑圈3递推数列，化分母较大的数。
例2：3，4，6，12，36，（216）
规律2：a1*a2-（首项为2的连续自然数）=a3。
例1：3，2，4，5，16，（75）
思路：减完一次，没有明显规律考虑递推数列。
规律3：a1的平方+a2=a3。
例1：1，2，3，7，16，（65）
规律4：a1+a2的平方=a3。
根号7等于2.64575……，可以用手开平方根的方法，1. 每两位分一节（从小数点起），从最高节逐节试根。之所以两位一节，是因为100（两位）是10（一位）的平方；2. 当从最高节试出根的最高位，将根的最高位平方与。
例1：2，1，3，10，103，（10619）
规律5：a1的平方+a2的平方=a3。
例1：2，2，8，-1，-2，5，1，1，2，-1，1，（2）
思路：12个数位，能被3整数，考虑3个一组。数量非常多，可分组。偶数项考虑两两一组，√7怎么算计算过程，若是3的倍数，三三一组。
规律6：a1*a2-a1=a3。
例1：2，3，4，9，32，（279）
例2：1，3，2，3，4，9，（32）
规律7：a1*a2-a3=a4。
例1：6，3，5，13，2，63，（-37）
规律8：【（a1+a2+a3）-（首项为-2，公差为1的等差数列）】/2=a4。
例1：2，4，6，5，7，9，11，（14.5）
这种题可以根号的含义去进行大致推算，如本题，7的根号应该在4的根号和9的根号之间，然后再进缩小范围计算，得值应在2.6和2.7之间取值，如需更精确数据，也可用计算器或通过计算进行下一步推算。
规律9：a1的平方-a2=a3。
例1：5，15，10，215，（-115）
1、根号7到底是等于多少呢，我们知道了计算的步骤是7^1/2=2.6457513110646，然后2.6457513110646约等于2.645。所以说根号7≈2.646。2、根号其实是根据根号里面的数字分解多个相同的数字，开根号得来。16=4*4=4。。
十三，根号数列规律总结
规律1：根号数列三次做差得到首项为1，公比为2的等比数列。
例1：根号3，根号5，3，4，2倍根号7，（7）
思路：根号数列中间夹杂着整数，要把整数化成根号，再找规律。
规律2：1+(n为首项为0，公差为1的等差数列）。
例1：1，2，1+根号2，1+根号3，3，（1+根号5）
思路：有整数有根号，把整数部分和根号分隔开找规律。
例1：2，2倍根号7，3倍根号13，20，（35）
根号数列思路：既有根号外面又有数的，把根号里的当成一组，把外面的数字当成一组。
规律4：a2-a1=首项为4，公差为2的等差数列。
例1：根号2，根号6，（2倍根号3），2倍根号5，根号30
思路：
1，大胆猜测，4与10之间是4和8，代入数列项验证；
2，数列全化成根号，再根据根号里面的数字找规律。
规律5：a2-a1=首项为8，公差为6的等差数列。
例1：根号3，根号11，5，3倍根号5，（根号71）
思路：
1，题目中只有一个不带根号的，把不带根号的化成带根号的；
2，再去根号，分析里面的规律。
