为什么那么努力的学数学还是不见起色?你应该明白数学学习的不仅是学习数学知识,更多是要求我们不断归纳反思求解问题的思路,力求形成解题模式模型。著名科学家钱学森先生说:"模型就是通过对问题现象的分解,利用我们考虑得来的原理吸收一切主要的因素,略去一切不主要的因素,30°,45°,60°角的三角函数值,所创造出来的一副图画……"。模型其实就是一种最简化的图形,在学习中它是由最小的知识模块和操作方法组成,模型解题就是:用最简单的模块对应的规律去解决各种各样的问题。为了让让同学们的复习工作更高效精准,特数学模型化研究和提炼和研究,本文主要抽取和探索共顶点三条线段的数学模型---三爪图模型及其问题求解策略。
模型介绍:爪子模型:共顶点引发的三条(多)条线段。解题策略有如下两个:
解题策略1:构造辅助圆
【分析】由AB=AC=AD可知点B,C,D在以A为圆心的圆上,根据圆心角和圆周角的关系即可求得.
【解答】∵AB=AC=AD。
∴点B,C,D在以A为圆心的圆上。
∵∠DBC=42°,∴∠CAD=2∠DBC=84°。
∵∠CAD=3∠BAC,∴∠BAC=1/3∠CAD=28°。
∵∠BDC=1/2∠BAC,∴∠BDC=1/2×28°=14°.
故答案为:84°,14°.
例2.在四边形ABCD中,DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2,则BD长为______.
【分析】以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交⊙A于F,连接DF.在△BDF中,由勾股定理即可求出BD的长.
【解答】以A为圆心,AB长为半径作圆,延长BA交⊙A于F,连接DF.
∵AB=AC=AD=2,∴D,C在圆A上。
∵DC∥AB,∴弧DF=弧BC。
∴DF=CB=1,BF=AB+AF=2AB=4。
∵FB是⊙A的直径,∴∠FDB=90°。
∴由勾股定理可求得BD=√15。
故答案为:√15.
A.√7 B.5 C.5√2 D.5√2/2
解析:如图2,连接DM,由于点C,M关于直线DE对称,故直线DE垂直平分线段CM。
因而DC=DM,由四边形ABCD是正方形,故DA=DC=DM,即点A、C、M到点D的距离相等。根据这一鸡爪模型特性,我们想到构造以D为圆心,DA为半径画圆,则点C、M必在⊙D上,由∠ADC=90°,易得∠AMC=45°,连接CN,则CN=MN=4,故∠MCN=∠AMC=45°,从而∠ANC=90°,连接AC,不难求出AC=5,AB=5√2/2, 故选D.
点评:随着直线DE位置变化,点M的位置也在变化,但它一定在以点D为圆心,DA的昌为半径的圆上,这就是运动变化中的不变关系。解决这类问题的关键是抓住"点A、C、M到点D的距离相等"这一特征,但这个特征往往比较隐蔽,不易发现,要综合考虑本题中的所有条件,而且要有一定的洞察力和解题经验。
【常规解法】如图所示,连接CN、DM、AC。
∵点C关于直线DE的对称点为M。
∴CN=MN,CD=DM。
∴∠NCM=∠NMC,∠DCM=∠DMC,∴∠DCN=∠DMN。
在正方形ABCD中,AD=CD。
cos30°=邻边bai÷斜边=√3:2=√3/2。cos是余弦值,du余弦值=邻边÷斜边。因zhi为在三角形中,30°所对的直角dao边是斜边的一半。所以这个三角形的三边之比=1:√
∴AD=DM,∴∠DAM=∠DMN,∴∠DCN=∠DAM。
∵∠ACN+∠CAN=∠BCD﹣∠DCN+∠CAD+∠DAM=∠BCD+∠CAD=90°。
cos30度=邻边÷斜边=√3:2=√3/2=0.154。因为在三角形中,30°所对的直角边是斜边的一半,所以这个三角形的三边之比=1:√3:2,cos30°=邻边÷斜边=√3∶
∴∠ANC=180°﹣90°=90°。
∴△ACN是直角三角形,∴由勾股定理可求得AC=5。
∴正方形ABCD的边长=√2/2AC=5√2/2.故选:D.
解题策略2:实施旋转变换
当三条线段不等时或题目隐含等边时,遇多少度旋转多少度,构造手拉手模型(全等或相似)来解决问题。
例4.已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
【解答】顺时针旋转△BPC 60°,可得△PBE为等边三角形.
即得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一条直线上。
即如下图:可得最小PA+PB+PC=AF.
此时∠EBC+∠CBP=∠FBE+∠EBC=60°=∠FBC。
所以∠ABF=90°+60°=150°,∠MBF=30°。
BM=BF•cos30°=BC•cos30°=√3/2,MF=1/2,则AM=1+√3/2。
在△AMF中,勾股定理得:AM²+MF²=AF²。
该题所求的点P实际上是费马点,而费马点的证明实际上是几何中图形旋转的典型应用,思考以下几个问题:
①为什么要把∆BPC顺时针旋转60°,旋转∆APB可以吗?
②.如果把题中的正方形ABCD改为Rt∆ABC,点P为动点可以吗?
③你能总结点P的特征是什么吗?它唯一吗?
④P为任意∆ABC内一动点,当PA+PB+PC取得最小值时。
∠APB=∠BPC=∠CPB=120°,这句话对吗?
⑤在本题中你能尺规作图找到点P吗?
⑥在本题的计算部分需要二次根式的开方,有什么技巧吗?
例5.如图4是A,B,C三个村子位置的平面图,经测量AC=4,BC=5,∠ACB=30°,P为△ABC内的一个动点,连接PA,PB,PC.求PA+PB+PC的最小值.
分析:如图,先由旋转的性质得出△APC≌△EDC,则∠ACP=∠ECD,AC=EC=4,∠PCD=60°,再证明∠BCE=90°,然后在Rt△BCE中,由勾股定理求出BE的长度,即为PA+PB+PC的最小值;
【解答】如图,将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△EDC,连接PD、BE.
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△EDC。
∴△APC≌△EDC(旋转的性质)。
∴∠ACP=∠ECD,AC=EC=4,∠PCD=60°。
∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB。
∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°。
∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°。
在Rt△BCE中,∵∠BCE=90°,BC=5,CE=4。
∴由勾股定理可求得BE=√41。
即PA+PB+PC的最小值为√41;
例6.如图,在等边三角形ABC中,点P在△ABC内,且∠APC=90°,∠BPC=120°,猜想PA,PB,PC三条线段之间有何数量关系,并说明理由.
【解答】结论:PA²+PB²=PC².
理由:证法一:如图,将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP′B,连接PP′.
∴△APP′是等边三角形,∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°。
∴PP′=AP,∠AP′P=∠APP′=60°,∴∠PP′B=90°,∴PP′²+P′B²=P′B²。
∵PP′=PA,CP=P′B,∴PA²+PB²=PC².
cos30度是√3/2,约等于0.87。cos30°=邻边÷斜边=√3:2=√3/2。余弦函数的定义域是整个实数集,值域是[-1,1]。它是周期函数,其最小正周期为2π。cos30°=邻边÷斜边=√3:2=√3/2。cos是余弦值,余弦。
证法二∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C,连接PP′.
∴△APP′是等边三角形,∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°。
∴PP′=AP,∠AP′P=∠APP′=60°。
∴∠PP′C=90°,∴PP′²+P′C²=PC²。
∵PP′=PA,CP′=PB,∴PA²+PB²=PC².
第6题的变式,如图,在等边三角形ABC中,AC=,点P在△ABC内,且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积.
【解答】 如图,∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到△AP′C′。
∴△APP′是等边三角形,∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°。
∴PP′=AP,∠AP′P=∠APP′=60°。
∴∠PP′C=90°,∠P′PC=30°,∴PP′=√3/2PC,即AP=√3/2PC。
∵∠APC=90°,∴AP²+PC²=AC²。
即(√3/2PC)²+PC²=(√7)²,∴PC=2,∴AP=√3。
∴S△APC=1/2AP•PC=1/2×√3×2=√3;
例7.如图,某货运场为一个矩形场地ABCD,其中AB=500米,AD=800米,顶点A,D为两个出口,现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P,在BC边上(含B,C两点)开一个货物入口M,并修建三条专用车道PA,PD,PM.若修建每米专用车道的费用为10000元,当M,P建在何处时,修建专用车道的费用最少?最少费用为多少?(结果保留整数)
【分析】先确定出最小值时的位置,当M,P,P1,D1在同一条直线上时,AP+PM+DP最小,最小值为D1N,再用等边三角形的性质计算.
【解答】如图,连接AM,DM,将△ADP绕点A逆时针旋转60°,得△AP′D′。
当M,P,P′,D′在同一条直线上时,AP+PM+DP最小,最小值为D′N。
∵M在BC上,∴当D′M⊥BC时,D′M取最小值。
设D′M交AD于E,∵△ADD′是等边三角形,∴EM=AB=500。
∴BM=400,PM=EM﹣PE=500﹣400√3/3。
∴D′E=√3/2AD=400√3,∴D′M=400√3+500。
∴最少费用为10000×(400√3+500)=1000000(4√3+5)万元;
∴M建在BC中点(BM=400米)处,点P在过M且垂直于BC的直线上,且在M上方(500﹣400√3/3)米处,最少费用为1000000(4√3+5)万元.
例8.①如图,菱形ABCD中,∠ABC=60°,在菱形ABCD内部有一点P,请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可);②若①中菱形ABCD的边长为4,请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长.
【分析】①将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,连接PE、DE,则线段BD即为PA+PB+PC最小值的线段;
②当B、P、E、D四点共线时,PA+PB+PC值最小,最小值为BD.先由旋转的性质得出△APC≌△DEC,则CP=CE,再证明△PCE是等边三角形,得到PE=CE=CP,然后根据菱形、三角形外角的性质,等腰三角形的判定得出BP=CP,同理,得出DE=CE,则BP=PE=ED=1/3BD.
【解答】①将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,连接PE、DE。
则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段;
②如图,当B、P、E、D四点共线时,PA+PB+PC值最小,最小值为BD.
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC。
∴△APC≌△DEC,∴CP=CE,∠PCE=60°。
∴△PCE是等边三角形,∴PE=CE=CP,∠EPC=∠CEP=60°.
∵菱形ABCD中,∠ABP=∠CBP=1/2∠ABC=30°。
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∴∠PCB=∠EPC﹣∠CBP=60°﹣∠30°=30°。
∴∠PCB=∠CBP=30°,∴BP=CP。
同理,DE=CE,∴BP=PE=ED.
连接AC,交BD于点O,则AC⊥BD.
在Rt△BOC中,∵∠BOC=90°,∠OBC=30°,BC=4。
∴BO=BC•cos∠OBC=4×√3/2=2√3。
∴BD=2BO=4√3,∴BP=1/BD=4√3/3.
即当PA+PB+PC值最小时PB的长为4√3/3.
故答案为:4√3/3.
小结:题目中遇到公共端点的三爪(多)图时,旋转是它的克星利器,通过旋转把分散的条件(线段或角)整合在一个三角形内解决。旋转时明确旋转中心和旋转角。因此当我们再遇到类似问题时,首先考虑旋转来解决。