彩票怎样才能中奖?理论上,只能靠运气。但是,如果规则设计得不好,就可以钻漏洞。
2005年2月,美国的一个彩票品种,就出现了漏洞,被麻省理工学院的学生发现了。随后的七年,这个学生反复购买这个品种,一共赚到了300万美元(约合人民币2115万)。
本文介绍他怎么做的,以及其中的数学原理。
期望值
彩票最重要的数学概念,叫做“期望值”(expected value),即同一种行为多次重复以后,所能得到的平均收益。
举例来说,如果每次抽奖需要2元,假设200次抽奖可以中奖一次,奖金为300元。那么,你花了2000元,一共抽奖1000次,中奖了5次,奖金为1500元。
也就是说,1000次抽奖的总收益是1500元,每次的平均收益是1.5元,这就是期望值。
期望值 = 300 * (1 / 200) + 0 * (199 / 200) = 1.5
期望值是1.5元,但是每次抽奖成本2元,于是净亏损0.5元。
一看就知道,这个事情是不划算的,做得越多,一组数据的期望值怎么计算,越不划算。偶尔买一次彩票,倒也算了;如果你一天到晚不断买彩票,就肯定会亏很多钱(上例是每200次亏100元)。
总之,期望值是衡量彩票收益的一个关键指标。
马萨诸塞州的 WinFall 彩票
在概率论和统计学中,数学期望(mean)(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。期望值计算:例子 某城市有10万个家庭,没有孩子的家庭有1。
美国马萨诸塞州有一个彩票品种,叫做 WinFall。它的规则很简单:1到48里面,你猜6个数字,猜中就有奖。
四等奖(6个猜中2个):奖金2元;
三等奖(6个猜中3个):奖金5元;
二等奖(6个猜中4个):奖金150元;
一等奖(6个猜中5个):奖金4000元;
1、先求A,B两种产品成功的概率:P(A)=40/50=0.8,P(B)=35/50=0.7。2、投资生产A产品的期望为E(A)=0.8*100+0.2*(-80)=64;投资生产B产品的期望为E(B)=0.7*80+0.3*(-50)=41。E(A)>E(B)。
特等奖(6个猜中6个):奖金池剩余的全部奖金。
有一期,一共卖出了930万张彩票,其中特等奖一个,奖金100万美元,一等奖238个,二等奖11625个,三等奖19.8万个,四等奖136.8万个。
计算可知,这种彩票的期望值是0.798元。
期望值=100万 * ( 1 / 930万)+4000 * ( 238 / 930万) +150 * (11625 / 930万) +5 * (19.8万 / 930万)+2 * (136.8万 / 930万 )= 0.798。
每张彩票的价格是2元,可是平均收益只有0.798元,连一半都不到,可见这种彩票是非常不划算的。因此没有吸引力,购买这种彩票的民众不断减少。
州政府很着急,因为政府从彩票抽成20%(每张0.4元)。如果销售量减少,政府的收益也会减少。于是,政府为了增加这种彩票的吸引力,决定修改彩票规则。
新规则
新的规则是,如果当期没有特等奖(没人猜中6个数字),那么奖金会分配给一等奖、二等奖、三等奖的得主,各奖项新的中奖金额如下。
一等奖(6中5):50000元;
二等奖(6中4):2385元;
三等奖(6中3):60元。
还是使用前面的中奖率,计算期望值。
期望值 =50000 * ( 238 / 930万) +2385 * (11625 / 930万) +60 * (19.8万 / 930万) = 5.53
数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。期望值是基础概率学的升级版,是所有管理决策的过程中,尤其是在金融领域是最实用的统计工具。某个事件(最初。
每张彩票的价格还是2元,但是期望值变成了5.53元。购买这种彩票就变得非常划算,大量购买的话,可以得到2.5倍的收益。之所以期望值大于彩票的成本,是因为奖金池还包含前期剩余的奖金。
麻省理工学院的一个学生,发现了这一点。他凑了5000元购买彩票,结果中了将近15000元!
如何选择号码?
毕竟你不能购买所有彩票,因为彩票的收益来自没中奖的那些人。你只能购买一部分彩票,设法使得自己购买的号码有最大的中奖可能。
为了简化思考,让我们考虑一种简单的情况。1到7里面猜三个数字,奖金如下。
猜中3个:奖金6元;
猜中2个:奖金2元;
猜中1个:无奖金。
你可以同时选择七种组合(即购买七张彩票),请问应该如何选择号码?
组合数公式
组合数公式是指从 m 个不同元素中,取出 n(n ≤ m)个元素的所有组合的个数,用符号 c(m,n) 表示。
它的计算公式如下:c(m,n) = m! / n! * (m - n)!
上面公式中,感叹号表示阶乘,比如4!等于4 * 3 * 2 * 1。
按照上面的定义,七个数字里面的三个号码的组合,共有c(7,3)个。
c(7,3) = 7! / 3! * (7 - 3)! = 35
这就是说,三个数字的组合共有 35 种。我们可以把它们全部列出来。
234 235 236 237
245 246 247
256 257
345 346 347
356 357
456 457
上面是所有35种可能的组合,你必须从中选出7种。请问应该选择哪七种?
最佳组合
答案是下面这七种组合:123 145 167 247 256 346 357。
期望值的计算公式:销售额的期望值=Σ(各情况下的销售额×各情况发生的概率),在概率论和统计学中,期望值(或数学期望、或均值,亦简称期望,物理学中称为期待值)是指在一个离散性随机变量试验中每次可能结果的概率。
仔细观察这七张彩票,你会发现它们是精心选择的:每个数字都正好出现三次。这导致你要么中一个大奖,要么中三个小奖。
几何选择法
这七张彩票是怎么选出的呢?
更严谨的证明是这样的:1到7这七个数字,共有21种两个数字的组合(C(7,2)),这意味着只要把这21种组合都买全了,就可以保证中三个小奖。因为三个中奖号码里面,共有三种两个数字的组合(比如中奖号码是367,那么36、37、67都可以中小奖)。另一方面,由于每张彩票包含三个号码,即包含三种两个数字的组合,那么最少只要买7张彩票就能覆盖全部21种组合。
实际的策略
回到前面的问题,马萨诸塞州的彩票应该怎么买?
3、期望值 μ=3,标准差 σ=2,P{|X|>2}:=NORMDIST(-2,3,2,1)+(1-NORMDIST(2,3,2,1)),P{X>3}:=1-NORMDIST(3,3,
6个号码只要猜中4个,就可以中二等奖,只要把所有四个号码的组合都买了,就可以确保中15个二等奖(6个中奖号码共有15个四个号码的组合C(6,4))。
48个号码里面共有194580种四个号码的组合(C(48,4)),既然一张彩票包含15种组合,那么最少购买12972张彩票就够了(194580 / 15 = 12972),就可以包含所有四个号码的组合。如果有兴趣的话,你可以写一个程序,算出包含这194580种组合的所有彩票。
购买12972张彩票,需要25944元(12972* 2)。根据前面的奖金额,二等奖的奖金是2385元,那么15个二等奖就是35775元(2385 * 15)。因此,投入25944元,可以无风险地获得35775元。当然,这样做的前提是,当期没人猜中特等奖,否则奖金就会被大大稀释。