如何求出原函数，牛顿-莱布尼兹公式告诉了我们求积分的方法，但不是所有的函数都是可积的，其中苏联数学家切比雪夫在这方面做了深入的研究，例如像sinx/x和（1+x^4）^1/2就没有初等表达式（或称之为反导数），这不仅意味着不能对sinx/x和（1+x^4）^1/2应用牛顿-莱布尼兹公式，而是意味着根本不存在这样的初等表达式。
梯形逼近：
像下图所显示的那样，如果把（a，b）分割为长度皆为h=（b-a）/n的n个子区间，f在（a，b）上的图像在每个子区间上可用直线段逼近。
∴原函数是y=2x³ - 3/(
其中
梯形法说的是：用T估计f从a到b的积分
对于复杂的函数或者复合函数的原函数就是用凑微分法或者分部积分法来求原函数。比如说2/（1+4x^2）的原函数就是S 2/（1+4x^2）dx=S 1/（1+（2x）^2）d2x=arctan（2x）+C 。
所以总结：梯形法为逼近
我们用
各y在f的分点是
的函数值，其中h=（b-a）/n
我们使用n=4时的梯形法估计如下定积分的值
分隔（1，2）成四个等长的子区间，再求x^2在每个分点的值
在梯形法中利用这些y值，n=4和h=(2-1)/4=1/4，我们有
积分的精确值是
一个函数的原函数求法：对这个函数进行不定积分。原函数是指对于一个定义在某区间的已知函数f(x)，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原。
可以发现它们相对发误差值是：（2.34375-7/3）/(7/3)=0.00446
我们再来看一个有关平均值得实例：
观察者从中午到下午每隔一小时测量一次室外温度，那么12小时周期内的平均温度是多少呢？
我们考察一个连续函数的平均值，需要用到如下简单的微积分中值定理
原函数的定义 F'(x)=f(x)F(x)是f(x)的原函数 则f(x)是2x的一个原函数 因为(x^2)'=2x 所以f(x)=2x+C 根据定义微分与积分实际上是互为逆运算，即微分是已知原函数然后求导，求不定积分是已知导数求原函数。
但上述是函数在间隔为1个单位的离散时刻的值，就无法使用中值定理，所以运用梯形法就很方便
用梯形法逼近微积分中值定理，我们得到
最终得到平均温度是65度
下一篇将讨论抛物线来，看它和梯形法有什么不同
