圆面积公式的推导，中间包含有朴素的极限、积分思想（无穷切割到无穷小后累加）和微积分思想。当然，计算圆面积的流程图，该公式包含π，自然是以圆周公式2πr为基础。
1 圆面积夹逼于内切和外四边形
如下图，圆的面积应该大于内切四边形面积：，小于外切四边形的面积
比较接近于
系数分别是2和4，圆周长是半径以π为线性关系，圆面积呢？
2 化圆为长方形
如下图，对圆做分割后可以组合成一个近似长方形：
3 化圆为n个三角形
如下图，先从一个常量开始，切分为24个扇形：
S=πr_圆的面积公式为：S=πr_。其中S表示圆的面积；π为圆周率，它是一个无限不循环小数，一般无特殊要求的情况下，计算中π≈3.14；r是圆的半径。如，一个圆的半径为2厘米，那么这个圆的面积则为3.14乘以
推广到切分为n个扇形：
4 化圆为三角
把圆分成n个大小递减的圆环可以堆叠成一个三角形：
每个圆环面积 ≈ 每个长方形面积
圆的面积公式为：S=πr²，S=π(d/2)²，（d为直径，r为半径，π是圆周率，通常取3.14），圆面积公式的是由古代数学家不断推导出来的。我国古代的数学家祖冲之，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加，。
当n→∞时，把这些圆环的面积加起来就是圆的面积。
用微积分描述就是：
5 利用极限
先来看怎样利用三角函数求圆内三角形面积，如下图：
S_蓝色三角形 =
当三角形切分得越来越多，趋于无穷小，利用极限求和，可得圆面积公式：
来计算：
也可以用以下过程来推理：
n→+∞时，a→0
以上切分三角形，其实也是切分正n边形的思想，一个正n边形，对应n个相同三角形：
也就是古老的割圆术：
6 利用微积分
圆心在原点，半径为的圆方程为
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