所谓阶乘，就是指：
阶乘的主要公式：1、任何大于1的自然数n阶乘表示方法：n!=1×2×3×……×n 或 n!=n×(n-1)!2、n的双阶乘：当n为奇数时表示不大于n的所有奇数的乘积 。如：7!=1×3×5×7 3、当n为偶数时表示不大于n的。
我们规定，，下面是十以内的阶乘列表。
1×2x3x4x到n的简便计算方法，自然数n阶乘n!0111223642451206720750408403209362880103628800
说来也奇怪，「把前面正整数都乘起来」，这似乎是刚学乘法的小朋友会提出的问题。数学家为什么要专门定义这种运算？
阶乘与计数原理
数学的世界总是出人意料地好玩，这看似是一个「玩笑」，然而在组合数学中，阶乘是一个基本而又关键的概念。从一个最基本的问题出发：
把个不同的小球排成一列，总共有多少种排列方法？
顺便我们介绍组合的概念：从个不同的小球中选取个小球的方式有多少种，我们将这个问题的答案记为
在这里我不得不提及排列中著名的「错排问题」：
邮递员将封不同收件人的信，全部放错邮箱的情况数？
通过简单的容斥原理
可以计算。其中表示集合的元素个数。
阶乘的计算方法是1乘以2乘以3乘以4，一直乘到所要求的数，例如所要求的数是6，则阶乘式是1×2×3×…×6，得到的积是720，720就是6的阶乘。
在错排问题中，我们可以设表示第个邮箱放对信的全部情况，于是信都投错的情况恰是(De Morgan定律)
由上述所说的全排列容易计算：
……
利用上面已知的信息，代入容斥原理计算公式可得
再由集合互补的关系可得
这就是错排问题的答案。
进一步，我们求错排的概率的话——
随着信件数的增加，这个概率会趋于一个常数
阶乘指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数.所要求的数是4,则阶乘式是1×2×3×4,得到的积是24,24就是4的阶乘.例如所要求的数是n,则阶乘式是1×2×3×……×n,设得到的积是x,x就是n的阶乘.
也就是说当充分大时，这位粗心的邮递员全部投错邮箱的概率居然高达！（这是一个表示惊叹的叹号）
从这个问题就看得的出，阶乘和自然对数的底有着极为深厚的渊源，顺便提一下一个著名的关于的级数表达式
阶乘与初等数论
关于阶乘的故事还有很多，接下来我们从初等数论的角度谈一谈。
这个古怪的公式提供了质因数分解中质数的指数的算法，习惯上使用如下符号表示
这个公式的证明不难，主要是利用了取整函数的特性。
既然大于的阶乘是合数，那它有没有可能是一个完全平方数？答案是：否。
利用上面的公式，我们可以给出一个简单的证明。
实际上我们只要证明：不超过但离最近的质数，有
证明：分两种情况：
若（质数集合），则命题显然；
若，设是不超过却离最近的质数，现在只需证明即可，于是便有
提起阶乘和素数，不得不说威尔逊定理(wilson's Theorem)——
正整数是质数的充要条件：
因为文章篇幅所限，还有大量关于阶乘的初等数论的结论就不一一列举了。
阶乘与高等数学
接下来关于阶乘的内容涉及大量微积分的内容，我们就点到为止。
阶乘最关键的发展，毫无疑问归功于欧拉引入的积分，后世称之为欧拉第一积分：
1~10的阶乘的结果如下：1!=1 2!=2*1=2 3!=3*2*1=6 4!=4*3*2*1=24 5!=5*4*3*2*1=120 6!=6*5*4*3*2*1=720 7!=7*6*5*4*3*2*1=5040 8!=8*7*6*5*4*3*2*1=40320 9!=9*
伽马函数图像
欧拉积分所定义的函数叫伽马函数。非常神奇的是，这个函数正是阶乘的「连续光滑版本」，即
由伽马函数的定义，通过一系列分析的手段可以得到斯特林公式；当然，最引人瞩目的便是阶乘和再次产生了奇妙的缘分。
伽马函数实际上还可以推广为复变函数，并且其具有某种深刻的对称性——余元公式：
——阶乘和圆周率也产生联系了。后来大数学家黎曼将其与他的泽塔函数联系在了一起：
毫无疑问，泽塔函数是解析数论的中心，黎曼猜想至今是人类悬而未决的重大猜想。关于黎曼猜想推荐大家阅读《素数的音乐》（Marcus du Sautoy），内容跌宕起伏十分精彩。
在维球体积公式中，也有伽马函数（阶乘）的倩影：
我在专栏里曾写过一篇文章《来自无穷维的雨点——正态分布的几何模型》[]，其中考虑的是这样一个问题
设单位球中的点，考虑投影映射，于是投影至一维直线上，形成的密度函数有何特点？
高维球内的点投影至1维空间示意图
蒙特卡罗模拟7维的情况
从图像中就可以看出密度曲线是标准的钟形分布，最后我在文中证明了其与正态分布的联系：
而伽马函数（阶乘）依然起到了枢纽的作用，并且我们再次看到了老朋友.
总结
尽管学过乘法的小学生就可以计算阶乘，然而阶乘的身上仍然充斥着未解之谜。本文从中学生较为熟悉的排列组合以及初等数论入手，然后又介绍了其「高阶版本」——伽马函数，展示了其在高等数学中无处不在的身影，体现出数学一以贯之的美感。
数学英才
中学生英才计划
数学学科官方公众号
推送数学微慕课和学习资料
