一元二次方程的基本内容
现有一个长方形宽为x米,长比宽的2倍少3米,那么当面积为10平方米时宽是多少?
长三米宽三米等于多少平方米 面积=3×3 =9平方米
根据长方形的面积公式我们能够得到:(2x-3)·x=10,化简后,2x^2-3x-10=0。在数学中,我们把这类式子叫做“一元二次方程”。
1、方程满足的条件
●(1)等号两边都是整式
●(2)只含有一个未知数
●(3)未知数的最高次数是2的方程
2、方程的形式
一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)。
特征是:等式左边加一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项。
3、方程的性质
(1)一元二次方程根的判别式:当ax2+bx+c=0 (a≠0)时,Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式。
当Δ>0 <=> 有两个不等的实根;
当Δ=0 <=> 有两个相等的实根;
当Δ<0 <=> 无实根。
长3米宽3米,就是一个正方形。正方形的面积公式是:边长×边长,即3×3=9(平方米)。
注意:当Δ≥0 <=> 有两个实根,需要根据题目要求,验证这两个实根是否相等。
(2)方程的两根与方程系数的关系:x1+x2= -b/a,x1·x2=c/a,方程两根为x1,长3米宽3米的卧室,x2时,方程为:x2+(x1+x2)X+x1x2=0。
一元二次方程的应用
01 方程解法
解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外),但必须熟练掌握。解一元二次方程选择方法的一般顺序是:直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法。
02 根的判别式
利用一元二次方程根的判别式,确定方程字母系数的值时候,要注意二次项系数不为零这个隐含条件。
主要考察内容:
(1)不解方程,应用根的判别式,判断一元二次方程根的情况
(2)已知方程中根的情况,如何由判别式逆推参数的取值范围
(3)分类讨论:如果方程没有支出二次方程和根的情况,一定要对方程进行分类讨论,如果二次系数为0,方程可能是一元一次方程,如果二次项系数不为0,一元二次方程可能有两个相等或不相等的实数根以及无实数根。
(4)一元二次方程根的判别式与整数解的综合
长三米宽三米深三米,如果求体积的话,是3×3×3=27(立方米)如果求表面积的话,应该是(3×3)×2+(3×3)×2+(3×3)×2=54(平方米)
03. 实际问题
列一元二次方程解实际应用的步骤:
3×
审:审题目,分清已知量、未知量、等量关系
设:设未知数,有时会用未知数表示相关的量
列:根据题目中的等量关系,列出方程
解:解方程,注意分式方程需要检验,将所求量表示清晰
验:检验方程的解是否满足题目条件,注意要使其实际问题有意义答:写出答案,切忌答非所问
三类常见问题:
1、增长率的等量关系
增长率=(正常量/基础量)*100%
2、利润的等量关系
利润=售价-成本
3米乘以3米是9平方米。正方形:S=a²{正方形面积=边长×边长}。单位换算:1 ㎡(1平方米)= 100 dm²(100平方分米)=10000 cm²(10000平方厘米)=1000000 mm²(1000000平方毫米)= 0.
利润率=(利润/成本)*100%
3、几何问题等量关系
这类问题主要根据几何图形的性质、特征、定理或公式等来寻找等量关系,常与三角形、四边形、不等式(组)等知识综合命题,解答时要在全面分析的前提下,注意合理运用代数式的变形技巧。
一元二次方程是初中数学的重要基础知识,也是考试中的热门考点。
它的解法灵活多样,解题中考虑的因素也较多,要想准确、快速的突破该点,必须对其限定条件考虑周全,多多练习!