【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。
例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为
所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100
=101×100÷2
=5050。
又如，计算“3+5+7+………＋97+99=？”，可以计算为
所以，3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。
这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。张丘建
利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：
“今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。
问织几何？”
题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些。
并且减少的数量都相等。她第一天织了 5 尺布，最后一天织了 1 尺，一共织了
宋 ：1丈=10尺,1尺=10寸,1寸=10分（1尺=30.7厘米）元 ：1丈=10尺,1尺=10寸,1寸=10分（1尺=30.7厘米）明 ：1丈=10尺,1尺=10寸,1寸=10分（裁衣尺：1尺=34厘米；量地尺:1尺=32.7厘米；营造尺:1。
30 天。问她一共织了多少布？
张丘建在《算经》上给出的解法是：
“并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”“答曰：二匹一丈”。
这一解法，用现代的算式表达，就是
1 匹=4 丈，1 丈=10 尺。
90 尺=9 丈=2 匹 1 丈。（答略）
张丘建这一解法的思路，据推测为：
一米等于三尺，一丈等于十尺，所以4丈等于40尺，一米等于三尺，所以用40去除以三，所得的结果就是你需要的结果！懂了没？
如果把这妇女从第一天直到第 30 天所织的布都加起来，算式就是
5＋…………＋1
在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要
递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。
若把这个式子反过来，则算式便是
1+………………＋5
此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个
相同的数。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。
假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”
这一特点，那么，就会出现下面的式子：
所以，加得的结果是 6×30=180（尺）
但这妇女用 30 天织的布没有 180 尺，而只有 180 尺布的一半。所以，这妇
女 30 天织的布是
180÷2=90（尺）
可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。
【分组计算】一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可
以使它很快地解答出来。
例如 求 1 到 10 亿这 10 亿个自然数的数字之和。这道题是求“10 亿个自然数的数字之和”，而不是“10 亿个自然数之和”。
什么是“数字之和”？例如，求 1 到 12 这 12 个自然数的数字之和，算式是
1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。
显然，10 亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也
极费时间（很多年都难于算出结果）的。怎么办呢？我们不妨在这 10 亿个自然
数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。然后，将
它们两两分组：
0 和 999，999，999；1 和 999，999，998；
2 和 999，999，997；3 和 999，999，996；
4 和 999，999，995；5 和 999，999， 994；
……… ………
依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000 以外，其他的自然数与
添上的 0 共 10 亿个数，共可以分为 5 亿组，各组数字之和都是 81，如
0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81
1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81
………………
最后的一个数 1，000，000，000 不成对，它的数字之和是 1。所以，此题
的计算结果是
（81×500，000，000）＋1
=40，500，000，000＋1
=40，500，000，001
【由小推大】“由小推大”是一种数学思维方法，也是一种速算、巧算技巧。
遇到有些题数目多，关系复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题
目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。例如：
（1）计算下面方阵中所有的数的和。
这是个“100×100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。不妨先化大为小。
再由小推大。先观察“5×5”的方阵，如下图（图 4.1）所示。
容易看到，对角线上五个“5”之和为 25。
这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图 4.2 那样拼
接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是 25。所以，“5×5”方阵的
所有数之和为 25×5=125，即 53
=125。
于是，很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为 1003
=1，000。
四丈一尺九是13.
000。
（2）把自然数中的偶数，像图 4.3 那样排成五列。最左边的叫第一列，按
从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列。那么 2002 出现在哪一列：
第四、三、二、一列（偶数都是按由小到大的顺序）。所以，由 1001÷8=125…………
1，可知这 1001 个偶数可以分为 125 组，还余 1 个。故 2002 应排在第二列。
【凑整巧算】用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。
例如
所以4丈等于13.
=111
=10＋100＋1000
=1110
（3）125＋125＋125＋125＋120＋125＋125＋125
=155＋125＋125＋125＋（120+5）＋125＋125+125-5
=125×8-5
=1000-5
=995
【巧妙试商】除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算
速度。
（1）用“商五法”试商。
当除数（两位数）的 10 倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接
试商“5”。如 70÷14=5，125÷25=5。
当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”。“无除”
指被除数前两位不够除，“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除
数的一半时，则可直接商“ 5”。例如 1248÷24=52，2385÷45=53
（2）同头无除商八、九。
“同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。“无除”仍指被除数前两位
不够除。这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商 8 或商 9。
5742÷58=99，4176÷48=87。
（3）用“商九法”试商。
当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数
与除数之和，大于或等于除数的 10 倍时，可以一次定商为“9”。
一般地说，假如被除数为 m，除数为 n，只有当 9n≤m＜10n 时，n 除 m 的商
才是 9。同样地，10n≤m＋n＜11n。这就是我们上述做法的根据。
例如 4508÷49=92，6480÷72=90。
（4）用差数试商。
当除数是 11、12、13…………18 和 19，被除数前两位又不够除的时候，可
以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方
法。若差数是 1 或 2，则初商为 9；差数是 3 或 4，则初商为 8；差数是 5 或 6。
则初商为 7；差数是 7 或 8，则初商是 6；差数是 9 时，则初商为 5。若不准确。
正确）；1278÷17=75（17 与 12 的差为 5，初商为 7，经试除，商 7 正确）。
为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀：
差一差二商个九，差三差四八当头；
差五差六初商七，差七差八先商六；
差数是九五上阵，试商快速无忧愁。
