任何实数a都不能除以零。这是为什么呢?
十除以二等于五，六除以三等于二，一除以零是多少？小学数学就会告诉你，答案是不能除。
0÷0=？
如果你问苹果手机上的 Siri，“零除以零等于多少”，它会显示：
除以零确实是个困扰很多人的问题......零也是个数字，它到底哪里特殊了？
Part 1小学篇
小学算术里，这个问题很简单。
那时我们把除法定义成“把一个东西分成几份”，分成一、二、三、四、五、六、七份都很容易想象，但是你要怎么把 10 个饼干分给 0 个人呢？想象不出来嘛！所以不能除。
敏锐的同学可能会想到，要是 0 个饼干分给 0 个人的话，本来无一物，好像就没关系了。但既然无物也无人，每个人分得多少都是可能的呀，根本无法给出一个单一确定的数值。
零的平方是介于-1和1之间的整数。是最小的自然数，也是有理数。0既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界点。0没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，0的平方根是0,0的立方根是0，0乘任何数都等于0，除0之。
这结论没错，但这都是凭直觉而得到的东西。你想象不出来，不一定意味着它没有。远古时代的数学是建立在直觉上的，买菜是够用了，但要进一步发展，就必须要有定义和证明——所以，我们上了中学。
Part 2中学篇
现在我们开始接触最最基本的代数学——也就是解方程。我们发现，除法和乘法互为逆运算。
零的平方是0。因为任何数和零相乘，答数都是0。0的平方是0，一个数是本身的数就是这个数，一个数的平方是本身的数是0或1。0是介于-1和1之间的整数，是最小的自然数，也是有理数。0的平方是0，0的平方根是
所以问
1 ÷ 0 = ?
就等于是解方程
好了，按照定义，0 乘以任何数都是 0，不可能等于 1，所以满足 x 的数字不存在，所以不能除。
同样，如果问
0 ÷ 0 = ?
就等于是解方程
同理，任何数字都可以满足 x，所以也不能除——无法确定一个单一的答案。
Part 3高中篇
等到接触了基本的形式逻辑，我们又会发现另一种证明方式：反证法。
一堆真的表述，不能推出一个假的表述，所以如果我们用“能够正常地除以零”加上别的一堆真表述，最后推出假的来，那只能说明“除以零”这件事情不成立了。
所以，已知
推出
零的平方是0 0是一个比较特殊的数字：1、0用来代表物体个数时，就是没有。2、0与任何数的积都是0。3、0不能作为除数。4、0的任何次方都是0。5、0除以任何数都是0。6、任何非零的数的0次方都是1。0的性质 0。
两边同时除以零，得到：
( 0 ÷ 0 ) × 1 = ( 0 ÷ 0 ) × 2
化简得到 1 = 2
这显然是错的啦！！！
那么，问题解决了吧！其实还没有。想想另一个问题：-1 的平方根是多少？
你可能会说，-1 不能开平方根，因为所有数的平方都是非负的。但是这说的是实数，零的平方为什么等于1，我要是增加一个定义呢？定义 i ^ 2 = -1，这就创造出了虚数，于是 -1 也能开平方根了。
那么，为何不能定义一个“新”的数，让 1 ÷ 0 也等于它，并为这个数设立一套运算法则呢？这就得去大学里回答了。
Part 4大一篇
刚学微积分课程就会立刻接触到 ∞ 这个符号。
咦，这不就是“无限”嘛！我们都学了极限的概念了，那么我令 b 趋向于 0，然后把 a ÷ b 的极限定义为无穷，不行吗？
Part 5大二篇
那么吸取教训，我不用现成符号了，我直接定义 1 ÷ 0 = w。
w 是个“无限大”的数，不碰什么极限，你总没话说了吧！然而，定义不是说来就来的，你虽然可以随便定义东西，但定义完了如果和现有的其他系统矛盾，那就不能用，或者很不好用。
而我们面对 w 立刻就遇到了问题。首先，w 要怎么放入基本的加减乘除体系里？1 + w 等于多少？w - w 等于多少？如果你造了一个数，却连加减乘除都不能做，那就不是很有用对吧。
比如直觉上，1 + w 应该等于 w，它都无限了嘛！而 w - w 则等于 0，自己减自己嘛！
但这样立刻会和加法里极其重要的“结合律”产生矛盾：1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1，可是( 1 + w ) - w = w - w = 0。结合律是加法里非常基本的东西，为了一个 w，连结合律都不要了，这成本有点大——不光是结合律本身，多少数学定理证明过程中不自觉都用了它，扔了它就都得重来，建立新体系。
新体系不是不能建，但是费心费力又（暂时）无卵用，所以大家还是在老实用旧的——而旧的里面，为了保住结合律，就不能这么玩。
零的平方是0，0的任何正数次方都是0，任何除0以外的数的0次方都是1。平方是一种运算，比如，a的平方表示a×a。代数中，一个数的平方是此数与的本身相乘所得的乘积，一个元素的平方是此元素与它的本身相乘所得的乘积。
欢迎读者们发挥自己的想象力，尝试为 w 给出运算方式。但是你会发现，无论怎么规定w和别的数字之间的关系，只要你还坚持 1 ÷ 0 = w，你就没法让它和你从小学习的基本数学不矛盾。还是那句话，你可以另立门户，在 w 的基础上建立起你的新数学，但它和大部分传统数学是不相容的，而且肯定会非常不好用，所以我们用了一个不能除以零的体系是非常合理的。
0的平方是0。0的0次方没有意义。0的任意正数次方都是0。0的任意负数次方没有意义。因为0的负数次方等于0的相应正数次方分之一（如：0的-2次方等于0的平方分之一），而0的任意正数次方都是0，所以0的负数次方会导致。
Part 6大三篇
“新发现推翻旧结论”这种事情，在生物里可以有，化学里可以有，物理里可以有，唯独数学里没有。因为数学建立在逻辑上，个案有例外，逻辑没有例外。当然我们的数学还没有完成最终公理化，还要面对哥德尔的幽灵，但至少在这个例子里，如果 w 是一个真正的数，那它就违反了一些非常重要的公理，而这些公理的地位可是非常之深。
比如有一组基本的公理叫“皮亚诺公理”，其中有一条说，每一个确定的自然数都有一个确定的后继，后继也是自然数；另一条说，自然数 b = c，当且仅当 b 的后继 = c 的后继。
这里假定 w 是自然数。其他情况会略微复杂一些，但无论如何，类似的事情发生在 w 的各种定义里。如果你想把 w 当成一个数，那就没法和我们现有的实数兼容。所以我们在几乎所有场合下都只能宣布，不能除以 0。
Part 7大四以上篇
既然我们之前说了个“几乎”，那就是有例外的——在个别奇葩场合下，可以。
比如：有一个东西叫做“复无穷”，它是扩充复平面上的一个点，真的是有定义的一个点。在这个特殊的规则下你可以写下 1 ÷ 0 = ∞ 这样一个表达式。这么做的原因就说来话长了，但它不是平常意义上的运算——比如你不能把 0 拿回来，不能写 1 = 0 × ∞。
另外，“无穷”二字在一些别的场合下是可以当成一个“东西”去对待的。比如当你衡量一个集合的大小的时候，它可以是无穷大的。但这就有很多种不同的无穷大了——自然数是无穷多的，有理数是无穷多的，实数也是无穷多的，可是奇数和偶数和正整数和负整数和自然数和有理数都一样多，而实数却比它们都多！同样是无穷，有的无穷比别的无穷更无穷。但这就是另一个话题了，打住！！！
所以，当我们说不能除以零的时候，理由……竟然出乎意料地充足。有许多直觉在数学里被推翻了，但是这一条没有。我们有种种数学上的方式去证明它无法成立的原因，虽然也许听起来不如 Siri 的回答那么“暖心”，但这些理性的愉悦也是一种美丽，对吧？
