沉迷数学的史蒂文又来啦!欢迎和我一块学习。
「图解数学」系列,根据欧几里得几何推演逻辑,用学生看起来最为直观的图形,来讲解平面几何各个知识点。
连载12期,精确覆盖 SAT/ACT 平面几何部分的所有考点;涉及 AMC 8 和公立学校初中平面几何重要知识点,并为国际学校和公立学校学生作中英文对照。
没听说过 AMC?
AMC 的全称是American Mathematics Competitions,美国数学竞赛。有三种等级: AMC 8 / AMC 10 / AMC 12,分别对应不超过 8/10/12 年级的学生参加,美国及其他地区均可参加。
需要详细了解的您可以看:
下面进入正文部分:
“人伸开双臂的长度基本等于人的身高”,像这样一句话,在数学里就叫做命题(statements)了,有好奇者想检验这句话的真伪,“论证这句话是对的”的过程就叫做命题的证明。在真实的英文数学考题中,会有“Show that ...” “Prove that ...”之类的题目。
数学中的证明基本可以分为两种:
一、基于定理的证明。
这种证明的基本逻辑是用具体案例套“大前提”,“大前提”一般是已知的定理。比如咱们上期讲到的“三角形内角和是180°”这个定理,五角星的编程怎么编,如果在某个题目中,一个复杂的图形中存在三角形DEF,那么DEF就是具体案例,立即能推出 ∠D+∠E+∠F=180°。
二、基于计算的证明。
比如想证明下图中最后一步的结论,∠4=∠1+∠2,可以由三角形内角和是 180° 计算 ∠1+∠2=180°-∠3,由平角性质计算 ∠4=180°-∠3。两个式子算出同样的结果,说明两个式子一样,即 ∠4=∠1+∠2,这就是平面几何中的一个重要性质:
三角形一个外角等于不相邻的两个内角和。
我们所指的五角星一般指正五角,它的拐弯角度是36度。正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形,五个3角形各自角度之和是180度,正五边形的内角和180*(n-2)=180*3=540度。每个角是540/5=108度,三角形的是等腰三角。
在我讲平面几何过程中,听到很多来自学生的疑惑:那些奇奇怪怪的辅助线 (guideline)谁能想到?想不到这条辅助线这题是不是就做不了了?
正五角星的角尖是36度,拐度是108度。五角星为一种有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形。英文“五角星”(pentagram)一词出于希腊语,原意大概是“五条直线的”或“五条线”。中文“五角星”的意义则显而易见,指有。
事实上,不做辅助线也会有其他方法做,只不过做辅助线会大大简化证明过程,所以希望大家在平时学习中,积累一些常见的辅助线的作法,辅助线不是说谁能在考场瞬间想到的,考场的成功都来自于平时的厚积薄发。
比如,已知下面右图中∠1,∠2,∠3各多少度,求∠4的大小。可做一条辅助线,把图形拆分成两个三角形,连用两次上面所说的重要性质“三角形一个外角等于不相邻的两个内角和”。可得出结论:
36度。如果是正五角星的,中间的五边形是正五边形,内角为540/5=108,五边形内角和为540度,这个是默认的,然后得到边上的五个等腰三角形两个内角都为72度,最后一个角为180-72*2=36。中文五角星的意义则显而易见,指。
凹四边形凹角等于其余三个角之和。
这就是辅助线的作用:把不熟悉的东西转化成熟悉的。辅助线的本质是连接已知条件,用虚线搭建桥梁。
我记得我小时候,特别羡慕班里会徒手画五角星(pentagram)的人,我学了一下怎么一笔画如下图的五角星,然而画的很歪。后来学了几何知识才知道,无论画的五角星是正的还是歪的,它五个角之和永远都是180°!
由三角形的内角和,我们证明出了四边形的内角和,能不能再计算证明五边形、六边形、七边形……内角和呢?这在数学里就叫做推广 (generalization) 了,把一些具体的问题一般化,证明其在更广阔的领域是对的,这很有用,过程也很难,数学家的精力主要消耗于此。
命题的推广在真正考题中往往作为某道题的最后一问,需要结合前面的具体结论来证明。有些学生觉得很难,其实,这是有套路的,推广的常见思路是看看证明特殊问题用到什么方法,现在还能不能继续用?
五角星五个角的总度数永远都为180度,所以每个角是36度。五角星的历史起源:五角星最早被发现在美索不达米亚的文献资料里,距今可以追溯到大约公元前3000年。在苏美尔语象形文字字典中它代表数字306,并且它被表现为两角向上。
每个顶点的外角等于180°减去内角,那么外角和是多少度呢?大家可以自行试试可否算出和证明。
学到这里,让我们来看一下今天涉及哪些知识点:
好,今天你学习了《图解数学》的第二讲,了解了任意五角星的内角和都是180°,也学会了它的证明。
恭喜你,又解锁了图解数学的一个新章节。
下期你将学习:
图解数学」系列第三讲
所以,五角星的五个顶角各是36°,拐角度数=180-(180-36)÷2=
等腰三角形与等边三角形
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