这是《机器学习中的数学基础》系列的第14篇，也是微积分的第7篇。
前面几章我们都是在讲各种函数的求导，也就是求微分。今天开始我们将会介绍微积分的另一半——积分。
函数积分得到原函数 反函数也有原函数
在正式介绍之前，我们还是先来看一个小例子。假设有一辆汽车以速度v从A点匀速行驶到B点，所用时间为t，那么汽车行驶过的距离s是多少？很简单，距离=速度x时间，s=vt。用图像来表示就是：
如图所示，我们所求的距离s就是绿色部分的面积。注意，我们把距离转换为了面积。好，现在我们的问题升级了。假如汽车不是以匀速行驶呢？也就是说，a乘x的原函数是多少，假设汽车从A点启动，到B点停止，期间速度v在一直变化，所用时间t，此时汽车行驶过的距离s又是多少呢？别急，我们还是先把v-t的图像画出来：
如上图，我们要求的距离s，就是v和t围成的绿色部分的面积。因为速度v在不断变化，好像我们无从下手。这里我们先假设汽车在某一段时间dt内的速度不变，一直是v(t)。用图表示如下：
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别急，我们再画一个图，是距离s和时间t的图像：
很容易得到，距离s的导数就是速度v（切线代表速度）。再看下用积分表示距离s的式子，现在我们是知道了速度v，想要求s。也就是说，我们想知道，哪个函数的导数是v呢？
好，我们的距离函数s已经求出来了，即s(t)=-t³/3+5t²+C。那我们想求t从0到10这段时间内所走过的距离，该怎么求呢？很简单，分别把t=0和t=10代入s(t)中，然后相减即可。即所求的距离为s(10)-s(0)，这里我就不计算了，大家可以自行求解。
指数函数y＝a^x的原函数是(a^x) /lna +C。（C为任意常数）解答过程如下：求一个函数的原函数，就是对这个函数积分。∫ a^x dx =(1/lna) ∫ (lna)×(a^x) dx =(a^x) /lna +C（C为任意常数）。
我们把上面的整个过程再用公式总结下，如果有F'(x)=f(x)，那么就有：
其中，求解原函数时产生的常数C，在相减的过程中就抵消掉了。
最后，假设我们给定任意一个指数函数axⁿ，则它的原函数为：
好了，这就是今天的全部内容，欢迎留言讨论。
