学过数学的同学都知道自然对数的底e这个常数,它是数学中最重要的两个常数之一,另一个是圆周率π,它最初来源于银行复利问题。比如一个银行的年利率是100%,我先存100块,一年之后就可以取出200块,如果我存到半年就取钱,此时的利率是50%,我可以取出150块,那么我再存进去,再过半年,本金加利息就是150*150%,就是225块,如果将存钱的次数增加,那么一年后我取出的钱就会增加,如果存钱的次数无穷增大,一年后的本金加利息就会趋近于一个值,这个值与最初的本金之比就是自然对数的底。
其实通过这个问题,大家不是很明白这个数的意义是什么,如果银行的年利率不是100%,而是其他数,那么结果又是什么呢?接下来我通过两个例子来讲解。
微生物的增长有什么规律?假设一种细菌,什么导出来是lnx,它每分钟分裂一次,变两倍,最开始有一个,1分钟后分裂一次为2个,2分钟后分裂两次为4个,3分钟后分裂三次为8个,那么n分钟后的数量就是2的n次方个,这种增长就是指数增长。
微生物的增长有什么规律?假设一种细菌,它每分钟分裂一次,变两倍,最开始有一个,1分钟后分裂一次为2个,2分钟后分裂两次为4个,3分钟后分裂三次为8个,那么n分钟后的数量就是2的n次方个,这种增长就是指数增长。
x*lnx- x+c的导数是lnx。这道题实际上就是求lnx的微积分。解答如下:∫lnxdx =x*lnx- ∫xdlnx =x*lnx- ∫x*(1/x)dx =x*lnx- ∫dx =x*lnx- x+c (c为任意常数)所以:x*lnx- x+c 的导数为lnx。
提起放射性同位素,我们都知道半衰期这个概念,意思就是该同位素衰减到原来的一半所花的时间,大伙儿肯定有个疑问,为什么要用半衰期这个概念来分析,而不研究它全部衰减所花的时间呢?事实上,放射性同位素的衰减为指数衰减,无论它的量为多少,它衰减一半的时间都是相等的,而全部衰减完的时间为无穷大,所以我们才用半衰期这个概念来研究放射性同位素的衰减过程。
=xlnx-∫xd(lnx)=xlnx-∫x*dx/x =xlnx-x+C
通过以上两个例子,我们了解了指数增长和指数衰减,事实上,现实中许多的变化都是指数变化,要研究指数变化,就必须要研究指数函数和对数函数,而e则是指数函数和对数函数最重要也是最基本的底数。那么为什么e为什么会如此特殊呢,为什么不是别的数呢,它为何成为常数中的“VIP”呢?接下来,我将非常透彻地讲解这个常数。
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通过这个结论,我们还可以通过反函数的求导法推导出lnx的导数为1/x,好了,大家是不是觉得数学是很有魅力的学科,其实e的独特性还不只于此呢,下次我会讲解欧拉公式及其应用,让大家认识自然对数的底和三角函数的关系。
∫lnxdx =x*lnx- ∫xdlnx =x*lnx- ∫x*(1/x)dx =x*lnx- ∫dx =x*lnx- x+c(c为任意常数)所以:x*lnx- x+c 的导数为lnx