数学的基础是对数学的哲学和逻辑或算法基础的研究，或者从更广泛的意义上讲，对有关数学性质的哲学理论的基础进行数学调查。在后一种意义上，数学基础和数学哲学之间的区别变得相当模糊。数学的基础可以被设想为研究基本的数学概念（集、函数、几何图形、数字等），以及它们如何形成更复杂的结构和概念的层次结构，特别是形成数学语言的具有根本重要性的结构（公式、理论及其模型赋予公式、定义、证明、算法等意义），也称为元数学概念，着眼于数学的哲学方面和统一性。寻找数学基础是数学哲学的核心问题；数学对象的抽象性提出了特殊的哲学挑战。
整个数学的基础并不旨在包含每个数学主题的基础。一般来说，研究领域的基础是指或多或少地系统地分析其最基本或最基本的概念、概念统一性及其概念的自然顺序或层次结构，这可能有助于将其与其他人类知识联系起来。基础的发展、出现和澄清可能在一个领域的历史中出现，可能不会被所有人视为其最有趣的部分。
数学在科学思想中一直发挥着特殊作用，自古以来，它一直是理性探索的真理和严谨的典范，并为其他科学（特别是物理学）提供了工具甚至基础。19世纪，数学向高抽象学的许多发展带来了新的挑战和悖论，敦促对数学真理的性质和标准进行更深入和系统的研究，并将数学的不同分支统一成一个连贯的整体。
对数学基础的系统搜索始于19世纪末，形成了一门名为数学逻辑的新数学学科，该学科后来与理论计算机科学有着密切的联系。它经历了一系列具有自相矛盾结果的危机，直到20世纪的发现稳定下来，成为一大批具有多个方面或组成部分（集合论、模型理论、证明理论等）的数学知识，其详细性质和可能的变体仍然是一个活跃的研究领域。其高水平的技术复杂性激发了许多哲学家的猜测，它可以作为其他科学基础的模型或模式。
古希腊数学
更多信息：古希腊数学
虽然数学实践以前在其他文明中发展起来，但对其理论和基础方面的特别兴趣在古希腊人的工作中显而易见。
早期的希腊哲学家对哪个更基本、算术还是几何提出了异议。Elea的Zeno（490-c。公元前430年）产生了四个悖论，似乎表明不可能改变。毕达哥拉斯数学学派最初坚持认为只有自然数和有理数存在。发现√2的非理性，即正方形与其侧面的对角线比（大约公元前5世纪），对他们来说是一个震惊，他们只是勉强接受了。柏拉图的学生Cnidus的Eudoxus（公元前408-355年）最终解决了有理数和实数之间的差异，他将两个非理性比率的比较简化为所涉幅度倍数的比较。他的方法预测了理查德·戴德金（1831-1916）对实数的现代定义的切割。
在后验分析中，亚里士多德（公元前384-322年）规定了通过原始概念、公理、假设、定义和定理逻辑组织知识领域的公理方法。亚里士多德从算术和几何学中举了大部分例子。这种方法在欧几里得元素（公元前300年）中达到了高潮，这是一篇关于数学的论文，结构非常严格的标准：欧几里得以三段论链的形式通过演示来证明每个命题是合理的（尽管它们并不总是严格遵守亚里士多德模板）。亚里士多德的三段论逻辑，以及欧几里得元素所体现的公理学方法，被认为是古希腊的科学成就。
柏拉图主义作为一种数学哲学
从19世纪末开始，柏拉图主义者对数学的看法在执业数学家中变得普遍。
概念，或者柏拉图主义者所说，数学对象是抽象的，远离日常的感知经验：几何图形被认为是与有效的绘图和物体形状区分开来的理想，数字不会与具体物体的计数相混淆。它们的存在和性质带来了特殊的哲学挑战：数学对象与其具体表示有何不同？他们位于他们的代表中，还是在我们的脑海中，还是其他地方？我们怎么能认识他们？
在柏拉图学院的大门上方，出现了一个著名的铭文：“不要让任何对几何一无所知的人进入这里”。通过这种方式，柏拉图表达了他对几何学的高度评价。他认为几何学是“哲学家训练中的第一个基本要素”，因为它具有抽象性。
许多数学家都认同柏拉图主义数学现实主义的这种哲学。[需要引用]一些作者认为，柏拉图主义不知何故成为任何数学工作的必要假设。
亚里士多德在他的《形而上学》中剖析并拒绝了这一观点。这些问题为哲学分析和辩论提供了很大的动力。
中世纪和文艺复兴
2000多年来，欧几里得的《元素》一直是数学的坚实基础，因为它的理性探索方法将数学家、哲学家和科学家引导到19世纪。
内容简介 本书是二十世纪最重要的现代主义作家之一吴尔夫的三部以意识流手法创作的小说的合集。三部作品分别以吴尔夫自己、她父母和她哥哥为原型,深入人物内心世界,对其思想意识流程细细临摹,全面再现,精炼典雅的行文中蕴含着对生命意义和存。
中世纪看到了关于普遍性本体论地位的争议（柏拉图思想）：现实主义独立于感知断言它们的存在；概念主义只主张它们在头脑中存在；唯名论否认两者，只将普遍性视为单个对象集合的名称（在更早的猜测它们是单词“logoi”）。
René Descartes出版了La Géométrie（1637年），旨在通过坐标系将几何简化为代数，赋予代数更基础的作用（而希腊人使用长度来定义目前称为实数的数字）。笛卡尔的书在1649年后成名，为无穷小微积分铺平了道路。
英格兰的艾萨克·牛顿（1642年至1727年）和德国的莱布尼茨（1646年至1716年）在需要新基础的基础上独立开发了无穷小微积分。特别是，莱布尼茨将无穷小描述为无限接近零的数字，这个概念不符合之前的数学基础框架，在20世纪之前也没有形式化。新教哲学家乔治·伯克利（1685-1753）的一本小册子说明了无限微积分对数学基础的强烈影响，他写道：“[无限微积分]既不是有限量，也不是无限小的量，也不是无限小的量。我们是否可以不称他们为离开数量的幽灵？”莱布尼茨也研究逻辑，但他的大部分著作直到1903年才出版。
然后，数学在物理应用中发展得非常迅速和成功。
实分析
极限和连续函数的现代（ε，δ）定义最早由博尔扎诺于1817年开发，但仍然相对未知。它为基于实数集的无穷小微积分奠定了坚实的基础，可以说解决了芝诺悖论和伯克利的论点。
文中描写的中心人物是一个地下党员的女儿.当时国民党反动派残酷地逮捕屠杀地下党员,白色恐怖笼罩着重庆上空.这姑娘的父亲因党组织遭到破坏而离开了家.母亲也因受到追踪特务的殴打而吐了血,然而,这位小姑娘不像一般孩子那样惊惶。
Karl Weierstrass（1815-1897）等数学家发现了连续、无处可微函数等病理函数。之前将函数作为计算规则或光滑图的概念不再足够。Weierstrass开始倡导分析的算术化，使用自然数的性质对分析进行公理化。
1858年，Dedekind提出了实数的定义，即有理数的剪切。康托尔后来在他的集合论中集成了实数和连续函数在有理数以及自然数方面的这种约简，并由希尔伯特和伯奈斯用二阶算术进行了公理化。
群论
第一次探索了数学的局限性。挪威人尼尔斯·亨里克·阿贝尔（1802-1829）和法国人埃瓦里斯特·伽卢瓦（1811-1832）研究了各种多项式方程的解，并证明了大于四度的方程没有通用代数解（阿贝尔-拉菲尼定理）。通过这些概念，Pierre Wantzel（1837）证明，仅靠直边和指南针不能三分任意角度或双倍立方体。1882年，林德曼在赫米特工作的基础上建造，通过证明π是非先验数，也不可能对圆的直边和指南针正交（构造面积等于给定圆的正方形）。自古希腊时代以来，数学家一直试图解决所有这些问题，但徒劳无功。
Abel和Galois的作品为群论（后来用于研究物理学和其他领域的对称性）和抽象代数的发展开辟了道路。向量空间的概念从1827年Möbius对重心坐标的概念，到1888年Peano对向量空间和线性映射的现代定义。几何学不再局限于三维。这些概念没有推广数字，而是结合了尚未形式化的函数和集合的概念，脱离了熟悉的数学对象。
非欧里德几何
在多次试图从其他公理推导出平行假设失败后，约翰·海因里希·兰伯特（1728年至1777年）对静态假设的双曲几何的研究导致他引入了双曲函数并计算双曲三角形的面积（其中角之和小于180°）。然后，俄罗斯数学家尼古莱·洛巴乔夫斯基（1792年至1856年）于1826年（并于1829年出版）与匈牙利数学家亚诺斯·博利亚伊（1802-1860年）和高斯平行，建立了这种几何的连贯性（因此平行假设的独立性）。19世纪后期，德国数学家伯恩哈德·黎曼开发了椭圆几何，这是另一种非欧几里得几何，找不到平行线，三角形中的角度之和大于180°。通过将点定义为固定球面上的一对对对极点，将线定义为球面上的大圆，证明它是一致的。当时，证明一组公理一致性的主要方法是为它提供一个模型。
投影几何
演绎系统中的陷阱之一是圆形推理，这个问题似乎一直存在于投影几何中，直到Karl von Staudt解决。正如俄罗斯历史学家所解释的那样：
在十九世纪中叶，投影几何中合成和分析方法的支持者之间存在激烈的争议，双方指责对方混合了投影和度量概念。事实上，通过考虑区间的长度，引入了用于投影几何综合表示的基本概念，即一条线四个点的交叉比。
von Staudt的纯几何方法基于完整的四边形来表达投影谐波共轭的关系。然后，他创建了一种用他的投掷代数来表达熟悉的数字属性的方法。这种推导场属性过程的英语版本可以在Oswald Veblen和John Young的《投影几何》（1938年）一书中找到，也可以在最近的John Stillwell的《几何四大支柱》（2005年）中找到。Stillwell在第120页上写道
...在某种意义上，投影几何比代数更简单，因为我们只使用五个几何公理来推导九个场公理。
抛出的代数通常被视为交叉比率的一个特征，因为学生通常依赖数字而不担心其基础。然而，交叉比率计算使用几何的度量特征，纯粹主义者不承认这些特征。例如，1961年，考克斯特写了《几何导论》，但没有提到交叉比率。
1、《狂人日记》是鲁迅创作的第一个短篇白话日记体小说，也是中国第一部现代白话文小说，写于1918年4月。该文首发于1918年5月15日4卷5号的《新青年》月刊，后收入《呐喊》集，编入《鲁迅全集》第一卷。小说通过被迫害。
布尔代数和逻辑
正式处理数学的尝试始于莱布尼茨和兰伯特（1728年至17777年），并继续是乔治·皮科克（1791年至1858年）等代数学家的作品。英国数学家George Boole（1847年）对逻辑进行了系统的数学处理，他设计了一个代数，该代数很快演变成现在所谓的布尔代数，其中唯一的数字是0和1，逻辑组合（连接、析取、蕴涵和否定）是类似于整数加法的运算。此外，德摩根于1847年发表了他的法律。因此，逻辑成为数学的一个分支。布尔代数是数学逻辑的起点，在计算机科学中具有重要应用。
Charles Sanders Peirce以Boole的工作为基础，开发了关系和量词的逻辑系统，他在1870年至1885年的几篇论文中发表了该体系。
德国数学家Gottlob Frege（1848-1925）在1879年出版的Begriffsschrift（公式语言）中提出了逻辑与量词的独立发展，这项工作通常被认为是逻辑史上的一个转折点。他暴露了亚里士多德逻辑中的缺陷，并指出了数学理论的三个预期属性[需要引用]
一致性：无法证明相互矛盾的陈述。
完整性：任何陈述都是可证明的或可反驳的（即其否定是可证明的）。
可判定性：有一个决策程序来测试理论中的任何陈述。
然后，他在Grundgesetze der Arithmetik（算术基本定律）中展示了算术如何在他的新逻辑中形式化。
弗雷格的作品在世纪之交时由伯特兰·罗素推广。但弗雷格的二维符号没有成功。流行的符号是通用的（x）和存在量词的（∃x），来自Giuseppe Peano和William Ernest Johnson，直到1935年Gerhard Gentzen引入∀符号，并在20世纪60年代成为规范符号。
从1890年到1905年，恩斯特·施罗德出版了三卷《Vorlesungen über die Algebra der Logik》。这项工作总结并扩展了布尔、德摩根和皮尔斯的工作，并全面引用了19世纪末理解的符号逻辑。
皮亚诺算术
算术（自然数论）的形式化作为公理学理论始于1881年的皮尔斯，并于1888年继续由理查德·戴德金德金和朱塞佩·皮亚诺继续。这仍然是一个二阶公理化（用任意子集表示归纳，从而隐含地使用集合论），因为对用一阶逻辑表达理论的担忧尚未被理解。在Dedekind的工作中，这种方法似乎完全描述了自然数，并提供了从后续函数和数学归纳中加法和乘法的递归定义。
基础危机
数学基础危机（德语Grundlagenkrise der Mathematik）是20世纪初寻求正确数学基础的术语。
20世纪，几个数学哲学流派接一个地遇到了困难，因为数学在数学本身中可以一致陈述任何基础的假设受到各种悖论（如罗素悖论）的发现的严重挑战。
“悖论”这个名字不应该与矛盾混淆。形式理论中的矛盾是理论内部荒谬的形式证明（例如2 + 2 = 5），这表明该理论不一致，必须被拒绝。但悖论可能是给定形式理论中令人惊讶但真实的结果，也可能是导致矛盾的非正式论点，因此，如果要形式化，候选理论必须至少不允许其步骤之一；在这种情况下，问题在于找到一个没有矛盾的令人满意的理论。如果论点的形式化版本构成了令人惊讶的真理的证据，这两种含义可能都适用。例如，罗素悖论可以表示为“没有所有集合的集合”（除了一些边际公理集合理论）。
各种思想流派相互对立。领先的流派是形式主义者的流派，大卫·希尔伯特是形式主义者中最重要的支持者，最终形成了所谓的希尔伯特的程序，他打算在通过元数学 finitistic手段证明健全的逻辑系统的基础上将数学基础。形式主义学派的主要反对者是直觉主义学派，由L领导。E。J。Brouwer坚决地抛弃了形式主义，认为这是一个带有符号的毫无意义的游戏。 这场战斗是激烈的。1920年，Hilbert成功地将他认为对数学构成威胁的Brouwer从当时领先的数学期刊Mathematicache Annalen的编辑委员会中删除。
哥德尔完备定理的哲学后果
哥德尔完备性定理在一阶逻辑中建立了公式的形式可证明性与其在所有可能模型中的真值之间的等价性。确切地说，对于任何一致的一阶理论，它给出了该理论描述的模型的“显式构造”；如果该理论的语言是可数的，该模型将是可数的。然而，这种“显式结构”不是算法性的。它基于完成理论的迭代过程，其中迭代的每个步骤都包括在保持理论一致性的情况下向公理添加一个公式；但这个一致性问题只是半可判定的（一种算法可以找到任何矛盾，但如果没有，则该一致性事实仍然无法证明）。
这可以被视为为柏拉图主义者的观点提供了一种理由，即我们的数学理论的对象是真实的。更准确地说，它表明，仅仅假设自然数集存在为全局（实际无穷大）就足以暗示任何一致理论的模型（对象世界）的存在。然而，仍然存在一些困难：
对于任何一致的理论，这通常不只给出一个对象世界，而是理论可以平等描述的无限可能世界，它们之间可能存在多种真理。
在集合论的情况下，该构造获得的模型都与预期模型相似，因为它们是可数的，而集合论旨在描述不可数的无穷大。在许多其他情况下也可以发表类似的评论。例如，对于包含算术的理论，此类构造通常给出包含非标准数的模型，除非构造方法专门设计以避免它们。
由于它不加区别地为所有一致的理论提供了模型，只要理论保持一致，它就没有理由接受或拒绝任何公理，而是认为所有一致的公理理论都指同样存在的世界。它没有说明哪种公理系统应该更可取作为数学的基础。
由于一致性的主张通常无法证明，它们仍然是一个信仰或非严格的理由问题。因此，完整性定理给出的模型的存在实际上需要两个哲学假设：自然数的实际无穷大和理论的一致性。
完备性定理的另一个结果是，它证明无穷小的概念是实际无限小的非零量的正当性，基于非标准模型的存在与标准模型同样合法。亚伯拉罕·罗宾逊将这个想法正式化为非标准分析理论。
更多悖论
以下列出了元数学的一些显著结果。Zermelo-Fraenkel集合论是研究最广泛的集合论公理化。当它包含选择公理时，它被缩写为ZFC，当排除选择公理时，它被缩写为ZF。
1922年：亚伯拉罕·弗朗克尔证明，选择公理无法从带有尿素的泽梅洛集合论公理中得到证明。
1931年：哥德尔不完备定理的出版，表明希尔伯特程序的基本方面无法实现。它展示了如何为任何足够强大和一致的递归公理化系统构建一个陈述——例如在（无限）自然数集上公理化算术的基本理论所必需的——一个正式表达其自身不可证明性的陈述，然后他证明了该陈述等同于该理论的一致性主张；因此（假设一致性为真），该系统的强大不足以证明自己的一致性，更不用说一个更简单的系统可以完成这项工作了。因此，很明显，数学真理的概念无法完全确定，也不能像希尔伯特的程序所设想的那样简化为纯粹的形式系统。这给希尔伯特计划的核心带来了最后的打击，即希望可以通过 finitistic 手段建立一致性（从未明确明确什么是“有限主义”公理，但无论提到什么公理系统，它都是一个比它应该证明其一致性的系统更弱”的系统）。
1936年：阿尔弗雷德·塔斯基证明了他的真数不可定义性定理。
从1927年到1936年,创作了历史小说集《故事新编》中的大部分作品和大量的杂文,收辑在《而已集》、《三闲集》、《二心集》、《南腔北调集》、《伪自由书》、《准风月谈》、《花边文学》、《且介亭杂文》、《且介亭杂文二编》。
1936年：艾伦·图灵证明，解决所有可能的程序输入对停止问题的通用算法不可能存在。
1938年：哥德尔证明了选择公理和广义连续统假设的一致性。
1936-1937年：阿隆佐·丘奇和艾伦·图灵分别发表了独立论文，表明不可能找到恩采德问题的一般解决方案：一阶逻辑中陈述的普遍有效性是不可判定的（根据完备性定理给出的，它只是半可判定的）。
1955年：彼得·诺维科夫证明存在一个有限呈现的群G，因此G的单词问题无法确定。
1963年：保罗·科恩证明，连续体假说无法从ZFC中证明。科恩的证明发展了强迫方法，该方法现在是在集合论中建立独立性结果的重要工具。
1964年：受物理学基本随机性的启发，Gregory Chaitin开始发表算法信息理论（测量数学中的不完整性和随机性）的结果。
1971年：事实证明，Suslin的问题独立于ZFC。
解决危机
从1935年开始，法国数学家布尔巴基小组开始出版一系列书籍，在集合论的新基础上正式确定许多数学领域。
直觉学派没有吸引许多追随者，直到1967年毕晓普的工作，建设性数学才被置于更坚实的基础之上。
集合论有许多可能的变体，这些变体在一致性强度上有所不同，其中较强的版本（假设更高类型的无穷大）包含较弱版本一致性的形式证明，但没有一个包含其自身一致性的形式证明。因此，我们唯一没有的就是我们可能喜欢的任何版本的集合论的一致性的正式证明，例如采埃孚。
在实践中，大多数数学家要么不使用公理系统工作，要么如果他们这样做，则不怀疑ZFC的一致性，通常是他们首选的公理系统。在实践的大多数数学中，基本形式理论的不完整性和悖论从未发挥作用，在它们起作用或形式化尝试可能会形成不一致的理论（如逻辑和范畴理论）的分支中，它们可能会受到仔细对待。
《昆虫记》是法国昆虫学家、文学家让-亨利·卡西米尔·法布尔创作的长篇生物学著作。让·亨利·卡西米尔·法布尔 （Jean-Henri Casimir Fabre，1823－1915），法国著名昆虫学家、文学家。被世人称为“昆虫界的荷马”，昆虫界。
20世纪中叶范畴论的发展表明，保证存在比ZFC更大的类的集合论是有用的，例如冯·诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论或塔斯基-格罗滕迪克集合论，尽管在许多情况下，使用大基数公理或格罗滕迪克宇宙是可以正式消除的。
