进入中学后，数系扩大到有理数，随着负数的引入，|x-2|怎么去绝对值符号，相反数和绝对值进入课本也就顺理成章了。绝对值是中学数学的一个重要概念，也是七年级的学习难点之一。下面我们来谈谈绝对值的定义和化简，以及相关例题的精解。
开场故事：一场激烈的辩论会
小学数学和具体的数打交道，进入中学后开始接触用字母代替数。这不仅增加了一层抽象程度，还让一些同学感觉不适应。
初一(14)班的小李同学问小王：“－a是负数吗？”
小王回答说：“是负数，因为a前面有个－号。”
旁边的小张说：“不一定是负数，因为字母a可以是任何数，如果a是负数的话，那么－a就是正数了，所以－a是负数或正数。”
另一旁的小杨插话了，他说：“如果a是零呢？”
大家“啊！”地一声，小李激动了，大声说：“－a到底是什么数？怎么回答？”大家议论纷纷。
班上的数学科代表小周站起来，他慢条斯理地说：“其实－a到底是什么数，大家辩论得差不多了，只是如何准确地表达的问题。”
如果用文字语言来回答，应该是：
当a为正数时，－a为负数；
当a为负数时，－a为正数；
当a为0时，－a为0。
如果用数学符号语言来表述，则是：
当a>0时，－a<0；
非负数，也就是说任何有理数的绝对值都≥0。任何纯虚数的绝对值是就是虚部的绝对值（如：|2i|=2；|-ei|=e）。0的绝对值还是0。|3|=3 =|-3| 当a≥0时，|a|=a 当a<0时，|a|=-a 存在|a-b|=|b-a。
当a<0时，－a>0；
当a=0时，－a=0.
小周的总结非常正确。小周在这里使用了“穷举法”。所谓穷举法，就是在讨论一个问题时，把所有可能的情况都一一列举出来，一个不重，一个不漏，然后对各种情况逐一分析，去掉不合条件的，留下符合条件的，最后作出结论。这是一种重要的数学思想方法——分类讨论的思想方法。这种思想方法贯穿于初中、高中和大学的学习当中，希望同学们能引起足够的重视。
绝对值的定义
在一次数学测验中，试卷里有这样一道填空题：若|a|=－a，则a____0.
小李同学填的是“<”号，即a<0.评卷的老师在这个答案的后面打了一个“✘”，并扣了分。卷子发下来，小李同学一看，认为是老师批改错了，就去找数学陈老师，说：
图一
图二
这是绝对值的定义，写得明明白白，a<0时。
|a|=－a，我怎么会错呢？
绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。在数学中，绝对值或模数| x | 的非负值，而不考虑其符号，即| x | = x表示正x，|。
数学陈老师说：这两个公式都没错，是绝对值的定义。绝对值记作|a|，这个公式，即|a|的表达式，符合一个不重，一个不漏的原则，但是用起来却很容易出差错。
由|a|=－a，应该得出a≤0，因为a=0也符合条件，如果只得出a<0，就漏掉了一个a=0，当然是不对的。这个知识点，有一次全国初中数学竞赛还考过。同理，由|a|=a，应该得出a≥0，而不是a>0.
但是，如果绝对值这样定义：
图三
又是不合理的！为什么不合理？因为a=0重复了两次！违反了“不重不漏”的原则。
让我们再重温一下绝对值的定义。
图一和图二是三分支和两分支表述的代数定义。
也请同学们理解：
若|a|=a，则a≥0。
若|a|=－a，则a≤0.
用文字语言定义：
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
绝对值的运算时要先判断绝对值符号里边的数或式的正负性，当绝对值符号里边的数或式≥0，直接脱去绝对值符号，当绝对值符号里边的数或式≤0，先添上相反符号，再把绝对值符号改写成括号再根据去括号的法则进行计算。用。
绝对值的几何定义：在数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值。
即|x | = x表示正x，| x | = -x表示负x（在这种情况下-x为正），| 0 | = 0。例如，3的绝对值为3，-3的绝对值也为3。数字的绝对值可以被认为是与零的距离。
上面关于绝对值的定义蕴含着下面几个重要的结论：
（1）任何有理数的绝对值都是非负数，即
|a|≥0；
（2）两个绝对值相等的数，它们或者相等，或者互为相反数，即|a|=|b|，那么a=b或a=－b；
（3）一个数的绝对值是它本身，这个数必定是非负数，即如果若|a|=a，那么a≥0；
一个数的绝对值是它的相反数，这个数必定是非正数，即如果|a|=－a，那么a≤0.
（4）绝对值为0的数，只有0自身。即如果|a|=0，那么a=0.
这些结论在解决与绝对值有关的问题时，非常有用。
绝对值化简
其实，上面说的绝对值的概念和定义，已经包含了绝对值化简的方法。
在去掉绝对值符号时，我们需要判断是否变号。举个例子：
|a－b|=a－b，（a－b）≥0；
|a－b|=－(a－b)=b－a，（a－b）<0.
计算|1－a|+|2a+1|+|a|的值(其中a<－2)。
∵|1－a|=1－a>0；
|2a+1|=－(2a+1)>0；
|a|=－a>0.
∴原式=1－a－2a－1－a
=－4a.
把题目改一下，去掉a<－2的限制，你还会不会做呢？
题目虽然变复杂了，但是牢记绝对值的非负性，完全可以做对。解题思路是先分类讨论，再综合在一起得到答案。
具体解法是先求出使绝对值等于0的a值，即找零点，几个零点把数轴分为几段再分类讨论。这就是零点分段法。最后再综合起来写出答案。
本题有3个零点，它们是－1/2，0，1。
∵当a<－1/2时，原式=1－a－(2a+1)－a
=1－a－2a－1－a=－4a
当－1/2≤a<0时，原式=1－a+2a+1－a
=2；
当0≤a<1时，原式=1－a+2a+1+a
=2a+2；
当a≥1时，原式=a－1+2a+1+a
=4a.
∴
运用题设中的隐含条件
例1 已知：|x－2|+x－2=0，求：x+2的最大值。
利用数轴获取信息
例2 有理数a，b、c在数轴上的位置如图1所示，化简|a|+ |b|+|a+b|+|b－c|式子。
图一
原式=－a+b+a+b－b+c=b+c
最后一道难题
遇到难题的慌张
例3 化简||x-1|-2|+|x+1|
这道题有点难，有的同学完全不会做。
有句话叫“难者不会，会者不难”。
找到解题方法，就不难了。
绝对值就是大于等于0。如3的绝对值是3；-3的绝对值是3；0的绝对值是0。在数学中，绝对值或模数| x | 的非负值，而不考虑其符号，即| x | = x表示正x，| x | = -x表示负x（在这种情况下-x为正），| 0。
题目有三个绝对值，先确定零点值，再用零点分段法分类讨论。双层绝对值就分步骤去绝对值符号。
题目有三个零点，即－1，1，3，这三个点把数轴分为四段，分段讨论。
解：
(1)当X<－1时。
原式=|1－x－2|－X－1
=|－X－1|－X－1
=－X－1－X－1
=－2X－2
(2)当1>X ≥－1时。
原式=|1-X-2|+X+1
=|-X-1|+X+1
=X+1+X+1
=2X+2
(3)当3>X≥1时。
原式=|X-1-2|+X+1
=|X-3|+X+1
=3-X+X+1
=4
(4)当X≥3时。
原式=|X-1-2|+X+1
=|X-3|+X+1
=X-3+X+1
=2X-2
综上所述，绝对值在初中数学中有着重要地位，贯穿于整个初中代数、几何的各个角落。绝对值是重要的数学基础知识，蕴含了丰富的数学思想和方法，如数形结合思想、化归思想、分类讨论思想等，应当引起足够的重视。
附录：绝对值相关学习资料
下次我们谈谈绝对值的几何意义，敬请期待。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
