1、函数单调性和极值:
函数的单调性:设函数在[a,b]上连续,在(a,b)内可导。
若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上单调递增;
若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上单调递减。
函数的极值:
定义:若函数f(x)在x0的一个邻域D有定义,且对D中除x0的所有点,都有f(x)<f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值。同理,若对D中除x0的所有点,都有f(x)>f(x0),则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点。
计算过程:
(第一充分条件):求导,找出可能极值点,通过可能极值点两侧符号判断,计算出函数值;
(第二充分条件):函数的极值通过其一阶和二阶导数来确定。对于一元可微函数f (x),它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导,在x0处二阶可导,且f&34;(x0)≠0,那么:(1)若f&34;(x0)>0,则f在x0取得极小值。
函数取得极值的必要条件:设函数f(x)在点x0处可导,且x0是极值点,则f'(X0)=0。
因为若f(a)是函数f(x)的极大值或极小值,则a为函数f(x)的极值点,极大值点与极小值点统称为极值点。极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。极值点出现在函数的驻点(导数为0的点)或不。
极值点一定是驻点,驻点不一定是极值点。
函数在导数不存在的点处也可能取得极值,驻点和导数不存在的点称为可能极值点。
函数在其整个定义域内可能有许多极大值或极小值,而且某个极大值不一定大于某个极小值。
2、函数的凹凸性与拐点
不对,因为具有偏导数的极值点必是驻点,但是驻点不一定是极值点。极值点不一定是驻点,也可能是不可导点 。最值点可以有多个,比如y=sinx,2kπ+π/2都是最值点,也是极值点。最值点也可能不存在,比如y=x闭区间上。
函数的凹凸性:设f(x)在区间D上连续,如果对D上任意两点a、b
如果恒有f((a+b)/2)<(f(a)+f(b))/2,那么称f(x)在D上的图形是(向上)凹的(或凹弧);
函数的拐点:(1)求出函数定义域和二阶导数,(2)求二阶导数等于0的点或者不存在的点,(3)判断高数在各个区间的凹凸性,(4)观察点两侧凹凸性是否发生改变。(凹凸性改变的点叫做函数的拐点)
3、函数的渐近线
铅直渐近线:就是指当x→C时,y→∞。一般来说,满足分母为0的x的值C,就是所求的渐进线。x = C 就是垂直渐进线。
水平渐近线:就是指在函数f(x)中,x→+∞或-∞时,y→c,y=c就是f(x)的水平渐近线。所以我们需要考虑的是x无限变大或者变小后,y的变化情况。
驻点不一定是极值点。极值点与驻点是函数的两个完全不同的概念,具有不同的侧重点。极值点不一定是驻点,同样驻点也不一定是极值点。驻点处的导数为零,可导函数极值点处导数为零,且要求该点两侧邻域内导数符号相反。在微。
斜渐近线:这种渐近线的形式为y=kx+b,b=limf(x)-kx。极限过程都是x趋向于无穷大。
4、描绘函数图形
(1)函数定义域;
(2)奇偶性和周期性,对称性和奇偶性;
(3)f(x)全部零点,间断点和一阶二阶导数不存在的点,将定义域分成几个子区间;(4)一阶二阶导数的符号,确定单调性,凹凸性,极值点,拐点;
(5)水平、铅直,斜渐近线和其他趋势;
(6)一阶导数和二阶导数的零点以及不存在的点所对应的函数值,特殊点(与坐标轴的交点和曲线的端点);
(7)用光滑的曲线联结这些点。
5、函数的最大值最小值与最优化问题
不对,因为具有偏导数的极值点必是驻点,但是驻点不一定是极值点。极值点不一定是驻点,也可能是不可导点 。最值点可以有多个,比如y=sinx,2kπ+π/2都是最值点,也是极值点。最值点也可能不存在,比如y=x闭区间。
f(x)在[a,b]上的最大值与最小值:
(1)求出f(x)的导数;
(2)求出函数在(a,b)内的驻点和导数不存在的点;
最优化问题:在数学上有时可以归结为求某以目标函数的最大值和最小值问题。