解法多样性只源于你看题的第一眼，瞬间的灵光
当相似三角形和圆结合起来之后，几何思维的难度陡然上升，寻找合适的相似三角形，利用圆的性质进行等量代换，往往几个变化下来，学生会感到条件处处可用，结论总对不上路。我也认为，这部分内容的难点有时并不在于条件不好找，而是条件太多，切割线定理为什么删了，但合适的却往往找不到。，
题目
如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于占M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P.
弦切角定理可以用其他方法计算，所以删了。弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。以三角形任意一条边为邻。
（1）求证：∠BCP=∠BAN
（2）求证：AM:MN=CB:BP
解析：
∵PC是⊙O切线
∴∠ACP=90°，即∠BCP+∠ACB=90°
∵AC是直径
∴∠ANC=90°，即∠CAN+∠ACB=90°
∴∠BCP=∠CAN
∵AB=AC
∴∠CAN=∠BAN
∴∠BCP=∠BAN
解题大方向选择：已经有一个对应角相等了，那么再找一个对应角，两角对应相等，则可证明两个三角形相似。
我的点评：非常不错！符合最优解思想，用最少步骤完成任务。
解法一：第一眼盯上了∠ANM，于是意图证明∠ANM=∠P，对于∠P来讲，它在Rt△APC中，于是∠P+∠PAC=90°，寻思着∠ANM是否也与∠PAC互余呢？似乎图形观察不出来，但是，∠ANM是圆周角啊！圆周角在圆中是可以转换的，于是连接CM，∠ANM=∠ACM，而∠ACM+∠PAC=90°，顺利理清思路。
连接CM
∵∠ACP=90°
∴∠P+∠PAC=90°
∵AC是直径
∴∠AMN=90°，即∠ACM+∠PAC=90°
∴∠P=∠ACM=∠ANM
由(1)得∠BCP=∠BAN
为了减轻学生的负担，各位同学并不需要去记忆这个定理，只需要掌握圆中角度有关的性质即可解决问题。弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。与圆相切的直线，同圆。
∴△AMN∽△CBP
∴AM:MN=CB:BP
解法二：第一眼瞅中钝角∠AMN，于是意图证明∠AMN=∠CBP，对于∠CBP，它有一个邻补角∠ABC，而∠AMN也同样有一个邻补角∠BMN，其中∠ABC又能转化到∠ACB位置，那么∠BMN与∠ACB是否相等呢？通过图形中的位置我们发现，对圆内接四边形ACNM来说，∠BMN是它的一个外角，而∠ACB恰好是它的内对角，于是它们相等。
新的课程标准中，弦切角的定义都给删除了。所以教材中，也就没有弦切角定理啦！
∵四边形ACNM是圆内接四边形
∴∠BMN=∠ACB=∠ABC
∴∠CBP=∠AMN
∴△AMN∽△CBP
∴AM:MN=CB:BP
∵四边形ACNM是圆内接四边形
∴∠AMN+∠ACB=180°
∵∠CBP+∠ABC=180°且∠ABC=∠ACB
∴∠AMN=∠CBP
∴△AMN∽△CBP
∴AM:MN=CB:BP
解题反思：
