一、初识余数与同余问题
题型特征：整数M，M÷A余a，M÷B余b，……
平均分组后，“多”“剩”“余”“少”多少
例如：（2010年浙江A卷）一个自然数“x”，除以3余数是2，除以4余数是3，问“x”除以12的余数是？
二、特殊型——同余特性
（一）余同加余
题型特征：除数不同，余数相同
解题技巧：最小公倍数做周期，余同加余
①找到除数最小公倍数
②M＝最小公倍数×n＋余数
例：一个数M除以4余1，除以5余1，除以6余1，问这个数如何表示？
①求最小公倍数：60（4、5、6的最小公倍数）；
②M＝60n＋1。
A.1045 B.1125 C.1235 D.1345
①每横排4人编队，最后少3人，相当于多1人；每横排3人编队，最后少2人，相当于多1人；如果按每横排2人编队，最后少1人，相当于多1人；4、3、2的最小公倍数为12；
②M＝12n＋1；选项按照小到大带入公式验证，12n＋1＝1045，n＝87，符合题意选A。
A.8 B.9 C.15 D.16
①6、5、4的最小公倍数为60；
②M＝60n＋3；，，∴符合条件的有15个。
（二）和同加和
题型特征：除数不同，“除数＋余数”相同
解题技巧：最小公倍数做周期，和同加和
根据计算公式：被除数÷商=除数来求除数。除数是一个数学概念，在除法算式中，除号后面的数叫做除数。若ab=c（b≠0），用积数c和因数b来求另一个因数a的运算就是除法，写作c÷b，读作c除以b（或b除c）。其中，c叫。
①找到除数最小公倍数
②M＝最小公倍数×n＋（除数＋余数）
例：一个数M除以4余3，除以5余2，除以6余1，问这个数如何表示？
①求最小公倍数：60（4、5、6的最小公倍数）；
②M＝60n＋7。
（2017年辽宁农信社）有一段阶梯，如果每步跨4级，最后剩下2级，如果每步跨5级，最后则会剩下1级。已知这段阶梯的级数可以被3整除，则这段阶梯共有（ ）级。
A.42 B.46 C.63 D.66
能被3整除，排除B；
①5、4的最小公倍数为20；
②M＝20n＋6，选D。
（三）差同减差
题型特征：除数不同，“除数－余数”相同
解题技巧：最小公倍数做周期，差同减差
①找到除数最小公倍数
②M＝最小公倍数×n－（除数－余数）
除数=被除数÷商，除数 = （被除数 - 余数）÷ 商 。除数（divisor）是一个数学概念，在除法算式中，除号后面的数叫做除数。例如：若ab=c（b≠0），用积数c和因数b来求另一个因数a的运算就是除法，写作c÷b，读作。
例：一个数M除以4余3，除以5余4，除以6余5，问这个数如何表示？
①求最小公倍数：60（4、5、6的最小公倍数）；
②M＝60n－1。
（2019年联考山东卷）一个盒子里有乒乓球100多个，如果每次取5个出来最后剩下4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个，那么如果每次取出12个最后剩多少个？
A.11 B.10 C.9 D.8
①5、4、3的最小公倍数为60；
②M＝60n－1；
∵100多个，∴120－1＝119或180－1＝179；除以12余数都是11，选A
（2018年交通银行春招）某数满足如下条件：被10除余9，被11除余10，被12除余11，在1000以内这样的数有几个。
A.0 B.1 C.2 D.3
①10、11、12的最小公倍数为660；
②M＝660n－1，n＝1时，M＝659，n＝2时，M＝1319＞1000排除，∴只有1个，选B。
总结：“最小公倍数做周期，余同加余，和同加和，差同减差”
三、一般型——灵活解题
题型特征：除数不同，余数不同
解题技巧：代入排除——提问整数M是多少
逐步满足——其他提问形式
（2015年河南事业单位）全班同学站队排成若干行，若每行14人则多5人，若每行17人则少4人。这个班级有多少名同学？
A.40 B.41 C.47 D.48
（2018年浙江A卷）某次比赛报名参赛者有213人，但实际参赛人数不足200.主办方安排车辆时，每5人坐一辆车，最后多2人；安排就餐时，每8人坐一桌，最后多7人；分组比赛时，每7人一组，最后多6人。问未参赛人数占报名人数的比重在以下哪个范围内？
求除数的公式有余数：除数=(被除数-余数)÷商。除法中被除数，除数，商，余数之间的关系是：被除数=除数*商+余数。被除数=除数*商+余数，被除数-余数=除数*商。除数=（被除数-余数）÷商。在整数的除法中，只有能整除。
A.低于20% B.20%-25%之间 C.25%-30%之间 D.高于30%
【逐步满足】M÷5余2，M÷8余7，M÷7余6
后两个条件差同减差，M＝56n－1＜200，n＝1或2或3
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当n＝1时，M等于55不满足除以5余2
分析：根据被除数÷除数=商可知：除数=被除数÷商 所以在已知被除数和商的情况下，除数就等于被除数除以商。举例：已知被除数是45，商是5，求除数。列示为：45÷5=9 除数是9。
当n＝2时，M等于111不满足除以5余2
运算公式：被除数÷除数=商；被除数÷商=除数；商*除数+余数=被除数。举例如下：以492÷4=123为例。竖式具体计算步骤如下图所示。解题思路：从最高位百位4开始除起，4除以4商为1，而后再用第二位十位9除以4商为2。
当n＝3时，M等于167满足除以5余2。
∴参赛人数167人，未参加人数213－167＝46人，占报名人数比重约21%+，选B。
