初中数学 专注初中数学解析
目录:
切线判定定理介绍(附书本例题及习题);
反证法证明:切线的性质定理;
切线长定理(附书本例题);
补充定理:弦切角定理;
弦切角的基本图介绍;
探讨了圆内部的弦与弦之间的数量和位置关系,再来探讨圆外的切线和圆内的弦、圆外的切线与切线之间的关系。
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
简单地说,就是:有切点,连半径,证垂直;无切点,作垂直,证半径。
2道书本习题:
例1 如下图1,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D,圆的切线怎么求?,求证:AC是⊙O的切线。,
例1 如下图1,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D,求证:AC是⊙O的切线。
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证明:如上图2,过O点作OE⊥AC,垂足为E,连接OD、OA。
∵ ⊙O与AB相切于D。
∴ OD⊥AB。
又 △ABC是等腰三角形,O是底边BC的中点。
∴ AO是∠BAC的角平分线。
∴ OE=OD,即OE是⊙O的半径 。
这样,AC经过⊙O的半径OE的外端E,并且垂直于半径OE。
所以AC与⊙O相切。
【温馨提示】这是从书本上抄录过来的,建议同学回归课本,注意对基础定理的准确理解以及准确应用。
例2: 如下图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB。
求证:直线AB是⊙O的切线。
【解析】题目明确说明了C是直线AB与圆的交点,连接OC则可知OC是半径,只需证明OC⊥AB即可。
∵OA=OB,C为AB中点。
∴OC⊥AB,且OC=半径。
则直线AB是⊙O的切线。
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径
书本上特意强调用反证法来证明。
反证法其实对学生的要求比较高,一定要通过书本的基本定理去找矛盾点。
已知:直线l与圆O相切于A。
求证:OA⊥l
方法如下,请作参考:
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,他们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
写成条件和结论的形式便是:
如图所示,已知PA、PB为⊙O的切线,则①PA=PB;②∠1=∠2;
书本上没说:PO垂直平分AB,因此这个不能直接使用。
弦切角定理: 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
已知:PB是⊙O的切线,BC为弦,连接PC与圆交于点A。
求证:∠1=∠2
如上右图所示,利用同弧所对的圆周角相等,构造过斜边为直径的RT三角形。
延长BO交⊙O于点A',连接A'C。
则∠2=∠A'。
在RT△BCA'中,∠A'+∠3=90°;
OB⊥AB,得∠1+∠3=90°;
则∠1=∠A'=∠2.
同样的,如果知道∠1=∠2,也可证明PB是⊙O的切线。
弦切角模型:
如图所示,PB是⊙O的切线,切点是B,PA是割线,求证:∠1=∠2;
如图所示,连接BO并延长交圆于点A’,根据同弧所对的圆周角相等,得∠2=∠A;
由PB是圆的切线可得OB⊥PB,则∠1+∠CBA’=90°;
由直径所对的圆周角90°得∠A’+∠CBA’=90°;
则∠1=∠A’=∠2;
切线方程公式为:记曲线为y=f(x)则在点(a,f(a))处的切线方程为:y=f'(a)(x-a)+f(a),法线方程公式:α*β=-1。切线方程:函数图形在某点(a,b)的切线方程为y=kx+b。先求斜率k,等于该点函数的导数。
【弦切角的举一反三】:
如图所示,P是圆外一点,B是圆上一点,BC是圆内的弦,连接并延长PC与圆交于另一点A,若∠1=∠2,求证:PB是圆的切线。
【涛哥解析】如下图所示,连接BO并延长交圆于点A’。
根据同弧所对的圆周角相等,得∠2=∠A’;
由直径所对的圆周角90°得∠A’+∠CBA’=90°;
则∠1=∠A’=∠2;∠1+∠CBA’=90°。
则PB是圆的切线。
【涛哥解析】如图所示,只需从条件中导出∠1=∠3即可。
由对称可得:∠1=∠2,由AB=AC可得:∠2=∠3。
由同弧AD所对的圆周角相等可得:∠3=∠4。
则∠1=∠2=∠3=∠4(只需∠1=∠3既可以)。
后面的按照弦切角的反证去写就可以了。
公式:求出的导数值作为斜率k 再用原来的点(x0,y0) ,切线方程就是(y-b)=k(x-a)
【示例2】如图,直线CD⊥弦AB,∠1=∠2,求证:PA为⊙O的切线。
【涛哥解析】利用弦切角的知识证明切线,只需要证明∠1=∠3即可。
用导数求在(x0,y0)点的斜率k = 2a*x0 然后用点斜式写出在(x0,y0)点的切线方程是:y-y0 = 2a*x0(x-x0)如果抛物线焦点在x轴上,则写出x与y的二次表达式,将x0和y0交换即可。平面内到一个定点F(焦点)。
OE⊥AB可得:弧AC=弧BC,则∠2=∠3,又∠1=∠2,则∠2=∠3.