反函数是函数中最基本的概念，对于一些反函数问题，求反函数的9种方法，只要充分理解反函数的概念，弄清原函数和反函数的定义域、值域之间的关系，了解互为反函数的图象间的关系，则可不必求出反函数的解析式便能迅速获解。
例1
的反函数是。
A.
B.
C.
D.
求反函数的方法：（1）从原函数式子中解出x用y表示；（2）对换 x,y ,（3）标明反函数的定义域 如：求y=√(1-x) 的反函数 注：√(1-x)表示根号下(1-x)两边平方,得y²=1-x x=1-y²对换x,y。
解析：由
得
说明：利用互为反函数的两个函数的定义域、值域间的互换关系解题，可化繁为简，快速准确。
例2 函数
的反函数的图象大致是
A B C D
解析：由原函数不难得到反函数的定义域为
说明：若函数
的图象经过点（a，b），则它的反函数
的图象必过点（b，a），反之也成立。利用这一结论，可避繁就简，轻松解题。
例3 若函数
则
_________。
解析：设
则
即
解得
1、先判读这个函数是否为单调函数，若非单调函数，则其反函数不存在。设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点 x₁ 和 x₂ ，当 x₁<x₂ 时，有 y₁<y₂ 。
故
说明：设函数的反函数为，则
求反函数的步骤：1、反解方程,将x看成未知数,y看成已知数,解出x的值。2、将这个式子中的x,y兑换位置,就得到反函数的解析式。3、求反函数的定义域，这个是很重要的一点，反函数的定义域是原函数的值域。则转变成求。
本题巧妙利用这一结论，回避了求，解法简捷明快。
例4 已知函数
的图象关于直线对称，求a的值。
解析：因函数的图象关于直线对称，所以函数的定义域和值域相同。又函数的定义域为
值域为
则
即得
说明：若函数的图象关于直线对称，则
即的定义域和值域相同。解题中若能适时运用这一结论，可达到事半功倍之效。
例5 已知函数
一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f -1(y)的定义域、值域。
若函数的图象与的图象关于直线对称，求
的值。
解析：由题设知函数是的反函数，设
则
即
所以
可得
1、求反函数只有一种方法，就是反解方程，互换xy位置，求定义域，逆方程是以x为未知数，y为已知数求解x的值，通过交换x和y在这个公式中的位置，可以得到反函数的解析表达式，求出反函数的定义域，求出解析表达式，求出。
然后将的反函数误认为是来求解。应引起同学们的注意。
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