儿童节刚刚过去，本期文章我们谈谈童年回（噩）忆（梦）中的魔方。
也许这是一个略显愚蠢的问题：为什么一个完好的魔方总是可以恢复原样？这其实是一个既简单又深刻的问题。
答：魔方的每个状态都是由初始状态通过一系列有限的操作所得到的，这些操作包括（顺时针旋转上层四分之一周）、（顺时针旋转前层四分之一周）、（顺时针旋转右层四分之一周）……那我们只需要“原路返回”，不就可以回到起点了吗？
例如我们对魔方进行操作：，那么我们只需要再进行如下操作即可：
其中表示的反向操作，即「逆时针」旋转前层四分之一周，其余符号同理。不过按照魔方术语，往往用其小写字母表示，即。
最基本的魔方是27块（实际上是20块＋骨架）
在群论中，称为的「逆」，因为他们的复合的结果是「单位元」，即魔方会回到初始状况：
群的复合运算满足「结合律」，容易给出上面等式成立的证明：
一个代数系统如果满足三条性质，则称为群：
存在单位元；
存在逆元；
满足结合律。
可见魔方确实是一个实实在在的「有限群（Finite group）」！
为什么说它有限呢？因为它是「置换群（Permutation group）」 的「子群（Subgroup）」，置换群是有限群，而它的子群是由其元素的子集构成的更小的群，所以其子群也一定是有限群。
魔方由六个中心块、十二个棱块、八个角块组成，所对应的棱块有两个面的不同颜色，角块有3个面的不同颜色，其中棱块只能和棱块换位，角块只能和角块换位，中心块不能移动。国际魔方标准色为：上黄－下白，前蓝－后。
所谓置换群，用魔方来讲就是：魔方的所有状态构成一个有限集合。状态与状态之间的转移，就是群的元素。一个的魔方有6个面，每个面又分为9个小的块面，于是一共有54个小的块面。这些小的块面的颜色共同构成魔方的当前状态，如果这54个块面可以随意互换位置，那么构成的群我们记为。然而魔方由于其特殊的内部构造，使得这种随意性是不可能发生的，真实的情况则是的一个子群，我们称为「魔方群（Rubik' Cube group）」。
这个群的实际状态数已被数学家给出，它是一个巨大的数字：
大约是现在地球人口数目的平方。
答：20步！
这个结果被称之为上帝之数。与平面图的四色定理（给不含有飞地的地图着色，使得邻国颜色不同，只需要四种颜色就够了）的证明类似，同样是通过计算机暴力证明。
总共有26个块 6格中心块不能动 8个角块 12个棱块
这么多，那么少！
这意味着什么呢？说明魔方的各个状态高度关联，所有的状态统统被压缩在直径为20的高维球体内。
我们如何理解魔方的还原公式呢？
我们可以将魔方群以图论的方式表示：每个状态记为一个节点，如果存在一个变换，可以从此状态得到彼状态，那么这两个节点必有一条边相连接，于是我们得到一个关于魔方状态的网络。在这个网络中，寻找最优路线对于新手而言是不切实际的，而还原公式帮助我们进入特定的轨道中，这个轨道就像是时钟表盘，而轨道上各个状态正如表盘上的刻度，而魔方的初始状态就是这个表盘上的12点，只要我们按照顺（逆）时针走，就一定会经过我们的目标。
魔方群中这种类似于表盘结构的子群，我们称之为「循环群（Cyclic group）」，并且是有限循环群。
而魔方还原公式本身的结构也非常耐人寻味，例如
R语言程序
下面是我写的2阶魔方的平面展开图，给定操作自动演算出结果。
魔方核心是一个轴,并由26个小正方体组成.包括中心方块6个,固定不动,只一面有颜色.边角方块8个(3面有色)（角块）可转动.边缘方块12个(2面有色)（棱块）亦可转动.玩具在出售时,小立方体的排列使大立方体的每一面都。
代码说明：
这里我没有遵守通常的记号习惯。
代码中两个变换的乘法表示先执行再执行，这虽然与映射复合的乘法规则相反，但是符合我们从左往右的阅读习惯。
最后一行代码表示对二阶魔方做变换，利用这个代码，可以验证上面的公式。
倒数第三行（括号不算）的代码，我为了做演示视频，有意设置了延迟效果。如果网友想要快速得到结果，可以删掉这行代码。
矩阵中心对称o <- function(A){ t = A[1，1] A[1，1] = A[2，2] A[2，2] = t t = A[1，2] A[1，2] = A[2，1] A[2，1] = t A}矩阵元素顺时针旋转v <- function(A){ t = A[1，1] A[1，1] = A[2，1] A[2，1] = A[2，2] A[2，2] = A[1，2] A[1，2] = t A}A为俯视图，B为正视图，C为右侧视图，X=A，B，C;结果为矩阵形式，方便绘图。Xup <- function(A，a，B，b，C，c){ Aup = matrix(rep(0，48)，6) Aup[3:4，5:6] = A Aup[3:4，1:2] = a Aup[1:2，5:6] = B Aup[5:6，5:6] = b Aup[3:4，3:4] = C Aup[3:4，7:8] = c Aup}cube = list(A，a，B，b，C，c)cube[[7]] = Xup(A，a，B，b，C，c)（B --> A）BAup <- function(Bup) { Aup = list() Aup[[1]] = Bup[[1]] Aup[[2]] = o(Bup[[2]]) Aup[[3]] = Bup[[3]] Aup[[4]] = o(Bup[[4]]) Aup[[5]] = r(Bup[[5]]) Aup[[6]] = v(Bup[[6]]) Aup[[7]] = Xup(Aup[[1]]，Aup[[2]]，Aup[[3]]，Aup[[4]]，Aup[[5]]，Aup[[6]]) Aup}（C --> A）CAup <- function(Cup) { Aup = list() Aup[[1]] = Cup[[1]] Aup[[2]] = Cup[[2]] Aup[[3]] = v(Cup[[3]]) Aup[[4]] = r(Cup[[4]]) Aup[[5]] = Cup[[5]] Aup[[6]] = Cup[[6]] Aup[[7]] = Xup(Aup[[1]]，Aup[[2]]，Aup[[3]]，Aup[[4]]，Aup[[5]]，Aup[[6]]) Aup}输入矩阵{for(i in 1:6)for(j in 1:8)points(i，j，pch = 15，cex = 4，col = color[Cube[i，j]+1])}draw(Xup(A，a，B，b，C，c)) 对A（红色面）逆时针旋转90度；此时List应该是A面为俯视面的形式U <- function(List){ unfold = Xup(List[[1]]，List[[2]]，List[[3]]，List[[4]]，List[[5]]，List[[6]]) A = matrix(rep(0，48)，6)for(i in 2:5)for(j in 4:7) A[9-j，2+i] = unfold[i，j] U的逆变换，此时List应该是A面为俯视面的形式V <- function(List){ unfold = Xup(List[[1]]，List[[2]]，List[[3]]，List[[4]]，List[[5]]，List[[6]]) A = matrix(rep(0，48)，6)for(i in 2:5)for(j in 4:7) A[j-2，9-i] = unfold[i，j] 对B（橙色面）逆时针旋转90度；此时List应该是B面为俯视面的形式F <- function(List){ unfold = Xup(List[[3]]，List[[4]]，List[[2]]，List[[1]]，List[[5]]，List[[6]]) A = matrix(rep(0，48)，6)for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[9-j，2+i] = unfold[i，j] F的逆变换，此时List应该是B面为俯视面的形式E <- function(List){ unfold = Xup(List[[3]]，List[[4]]，List[[2]]，List[[1]]，List[[5]]，List[[6]]) A = matrix(rep(0，48)，6)for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[j-2，9-i] = unfold[i，j] 对C（黄色面）逆时针旋转90度;此时List应该是C面为俯视面的形式R <- function(List){ unfold = Xup(List[[5]]，List[[6]]，List[[3]]，List[[4]]，List[[2]]，List[[1]]) A = matrix(rep(0，48)，6)for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[9-j，2+i] = unfold[i，j] R的逆变换，此时List应该是C面为俯视面的形式K <- function(List){ unfold = Xup(List[[5]]，List[[6]]，List[[3]]，List[[4]]，List[[2]]，List[[1]]) A = matrix(rep(0，48)，6)for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[j-2，9-i] = unfold[i，j] 魔方的变换Transform <- function(Cha) 将字符串的字母逐个拆开for(i in Cha) {if(i=="U"){cube = U(cube)}if(i=="V"){cube = V(cube)}if(i=="F"){cube = F(ABup(cube)); cube = BAup(cube)}if(i=="E"){cube = E(ABup(cube)); cube = BAup(cube)}if(i=="R"){cube = R(ACup(cube)); cube = CAup(cube)}if(i=="K"){cube = K(ACup(cube)); cube = CAup(cube)} draw(cube[[7]]) Sys.sleep(0.2) } cube[[7]]}Transform(rep("RVE"，30))
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