数列,在高中阶段可是折磨了我们好长时间,等到了大学的时候本以为即将摆脱,谁想我们那么喜爱数学咧,╰(*°▽°*)╯,所以我们迎来了高等数学。不止要学习学习数列,还要会求数列极限哟,那就跟着小编来先复习复习高中学过的数列知识吧。
数列是数学研究中一个重要的领域,是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,是一列有序的数。这么拗口,其实就是一堆有顺序的数。那这一个一个的数都有一个高大上的名字,叫做这个数列的项,如果是排在第一位的自然就称为第一项喽,既然是排在第一位的嘛,自然还有其他称呼,比如比赛中第一名叫冠军,比赛获得第一名叫金奖,那数列的第一项通常也叫做首相(项)。那其他的项排在第几位就叫做第几项喽。数列通常用a(n)来表示。
在数列中,比较出名的数列有斐波那契数列,三角函数,卡特兰数,杨辉三角等。这对数列可是很有用的呢,除了会变化出各种习题之外,还是计算机专业拿来学习编程时练手的项目呢。
数列的函数理解
数列其实就是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。
那既然数列是一种特殊的函数,那就可以用函数的观点来认识数列,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,主要有:列表法;图像法;解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
所以C(3,1)·C(3,1)·C(
函数不一定有解析式,同样数列也并非都有通项公式。但是,数列有一般形式,数列的一般形式可以写成: a1,a2,a3,...,a(n),a(n+1)..., 简记为{an}。
项
数列中的项必须是数,它可以是实数,也可以是复数。
用符号{a(n)}表示数列,不要看着很像集合,其实只不过是“借用”集合的符号,它们之间有本质上的区别:
1.集合中的元素是互异的,而数列中的项可以是相同的。
2.集合中的元素是无序的,而数列中的项必须按一定顺序排列,也就是必须是有序的。
数列的分类
(1)有穷数列和无穷数列:
项数有限的数列为“有穷数列”,项数无限的数列为“无穷数列”。
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;如:1,2,3,4,5,6,7;
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;如:8,7,6,5,4,3,2;
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列(摇摆数列);
(3)周期数列:各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数);
(4)常数数列:各项相等的数列叫做常数数列(如:2,2,2,2,2,2,2,2,2)。
2 an=Sn-S(n-1)等差数列 an=a1+(n-1)d Sn=(d/2)n^2+(a1-d/2)n=n(a1+an)/2 S(2n-1)=(2n-1)an S(2n-1)/T(2n-1)=an/bn(AN BN 为等差数列 SN TN 分别为前N项和)等比数列 an=a1q。
公式
(1)通项公式:数列的第n项a(n)与项的序数n之间的关系可以用一个公式a(n)=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式,比如: a(n)=(-1)^(n+1) + 1 。
数列通项公式的特点:
设an+d=1.05[a(n-1)+d], 展开得,an=1.05a(n-1)+0.05d, 可得 d=-2000 于是 数列 an-2000是首项为 a1-2000=8000,公比q=1.05的等比数列,所以,an-2000=8000*1.05^(n-1)因此,a100=2000+8000*1。.
a. 有些数列的通项公式可以有不同形式,即不唯一;
b.有些数列没有通项公式(如:素数由小到大排成一列2,3,5,7,11,...)。
(2)递推公式:如果数列{a(n)}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列递推公式特点:
a. 有些数列的递推公式可以有不同形式,即不唯一。
b. 有些数列没有递推公式,即使有递推公式不一定有有通项公式。
等差数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示,前n项和用S(n)表示。等差数列的通项公式为a(n)=a1 + (n-1) * d,其中,n=1时,a1=s1,n≥2时,a(n) = s(n) - s(n-1)
等差中项: 由三个数a,A,b组成的等差数列堪称最简单的等差数列。这时,A叫做a与b的等差中项。满足关系:A=(a+b)÷2。
前n项和的推导,使用倒序相加法推导。
所以S(n)=(n(a1+a(n))) / 2
数列计算过程解答如图所示只需要合理的通分运算,就可以很容易得出,那步计算结果。
也可以推导出以下公式:
a1=2S(n) / n-a(n)
a(n)=2S(n) / n-a1
S(2n-1)=(2n-1) * a(n)
S(2n+1)=(2n+1)a(n+1)
性质:
(1)任意两项a(m),c上4下8怎么算,a(n)的关系为:a(n)=a(m)+(n-m)d,它可以看作等差数列广义的通项公式。
(2)从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a1+a(n)=a2+a(n-1)=a3+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1),k∈N*。
(3)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)。
(4)对任意的k∈N*,有S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(nk)-S((n-1)k)…成等差数列。
等差数列,a(1)=-2010,S(2009)/2009 = S(2007)/2007 = 2 解:S(2009)-S(2007)=2*2009-2*2007 = 4 ,因为是等差数列,所以公差 d = 4/2 = 2 ,那么 a(2010) = a(1) + 2009*d = -2010 +
应用:日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级。银行金融业务中也有所涉及,比如按揭货款的计算等等,︿( ̄︶ ̄)︿还有一个重大用处就是考公务员和考试喽。
等比数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。其通项公为a(n)=a1 * q^(n - 1),首相为a1,公比为q。
等比中项: 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。有如下关系:
G²=a * b,G = ±√(a * b)
两个非零同号的实数的等比中项有两个,它们互为相反数,所以是a、G、b三数成等比数列的必要不充分条件。
前n项和推导如下:
当q=1时,等比数列的前n项和的公式为:S(n) = n * a1
性质
(1)若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则 a(m) * a(n) = a(p) * a(q)
每一个数比前一个多2n-1,所以数列an就是一个一阶等差数列求和,那么数列前n项和就是一个二阶等差数列求和了,即答案是一个关于n的三次式,你可以用待定系数法解决了
(2)在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列。
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:a1 * a(n) = a2 * a(n-1) =...=a(k) * a(n-k + 1),k ∈{1,2,... n}
应用: 等比数列在生活中也是常常运用的。如:银行有一种支付利息的方式---复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。按照复利计算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期。