所谓阶乘，就是指：
我们规定，，下面是十以内的阶乘列表。
七的阶乘怎么解，自然数n阶乘n!0111223642451206720750408403209362880103628800
说来也奇怪，「把前面正整数都乘起来」，这似乎是刚学乘法的小朋友会提出的问题。数学家为什么要专门定义这种运算？
阶乘与计数原理
把个不同的小球排成一列，总共有多少种排列方法？
由计数乘法原理，我们按照排序逐个选取小球：排在第一个位置的小球的选取方法有种，排在第二的小球只能在剩下的个小球中选取……于是最终的答案正是（注意这个叹号不是在感叹～）
顺便我们介绍组合的概念：从个不同的小球中选取个小球的方式有多少种，我们将这个问题的答案记为
在这里我不得不提及排列中著名的「错排问题」：
邮递员将封不同收件人的信，全部放错邮箱的情况数？
通过简单的容斥原理
可以计算。其中表示集合的元素个数。
由上述所说的全排列容易计算：
……
利用上面已知的信息，代入容斥原理计算公式可得
再由集合互补的关系可得
7的阶乘等于七乘六乘五乘四乘三乘二乘一，等于五千零四十。阶乘是基斯顿卡曼于 1808 年发明的运算符号，是数学术语。一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。
这就是错排问题的答案。
进一步，我们求错排的概率的话——
随着信件数的增加，这个概率会趋于一个常数
也就是说当充分大时，这位粗心的邮递员全部投错邮箱的概率居然高达！（这是一个表示惊叹的叹号）
从这个问题就看得的出，阶乘和自然对数的底有着极为深厚的渊源，顺便提一下一个著名的关于的级数表达式
如果了解一点微积分的同学一定知道的重要性，它的背后是一部波澜壮阔的微积分历史，建议大家看以色列知名科普作家Eli Maor的《e的故事：一个常数的传奇》。
阶乘与初等数论
关于阶乘的故事还有很多，接下来我们从初等数论的角度谈一谈。
这个古怪的公式提供了质因数分解中质数的指数的算法，习惯上使用如下符号表示
这个公式的证明不难，主要是利用了取整函数的特性。
既然大于的阶乘是合数，那它有没有可能是一个完全平方数？答案是：否。
利用上面的公式，我们可以给出一个简单的证明。
实际上我们只要证明：不超过但离最近的质数，有
证明：分两种情况：
若（质数集合），则命题显然；
若，设是不超过却离最近的质数，现在只需证明即可，于是便有
提起阶乘和素数，不得不说威尔逊定理(wilson's Theorem)——
7！表示的是7阶乘；运算是7！=7*6*5*4*3*2*1=
正整数是质数的充要条件：
因为文章篇幅所限，还有大量关于阶乘的初等数论的结论就不一一列举了。
阶乘与高等数学
接下来关于阶乘的内容涉及大量微积分的内容，我们就点到为止。
虽然这是一个渐近表达式，但是足以应付常见的极限问题。在《阶的估计基础》(潘承洞、于秀源著)中有更为精确的公式与推导过程。
阶乘最关键的发展，毫无疑问归功于欧拉引入的积分，后世称之为欧拉第一积分：
伽马函数图像
欧拉积分所定义的函数叫伽马函数。非常神奇的是，这个函数正是阶乘的「连续光滑版本」，即
关注 展开全部 解:1的阶乘:12的阶乘:23的阶乘:64的阶乘:245的阶乘:1206的阶乘:7207的阶乘:50408的阶乘:40320 9的阶乘:362880 10的阶乘:3628800 已赞过 已踩过< 你对这个回答的评价是? 评论 收起 为。
由伽马函数的定义，通过一系列分析的手段可以得到斯特林公式；当然，最引人瞩目的便是阶乘和再次产生了奇妙的缘分。
伽马函数实际上还可以推广为复变函数，并且其具有某种深刻的对称性——余元公式：
——阶乘和圆周率也产生联系了。后来大数学家黎曼将其与他的泽塔函数联系在了一起：
毫无疑问，泽塔函数是解析数论的中心，黎曼猜想至今是人类悬而未决的重大猜想。关于黎曼猜想推荐大家阅读《素数的音乐》（Marcus du Sautoy），内容跌宕起伏十分精彩。
在维球体积公式中，也有伽马函数（阶乘）的倩影：
我在专栏里曾写过一篇文章《来自无穷维的雨点——正态分布的几何模型》[]，其中考虑的是这样一个问题
设单位球中的点，考虑投影映射，于是投影至一维直线上，形成的密度函数有何特点？
高维球内的点投影至1维空间示意图
蒙特卡罗模拟7维的情况
从图像中就可以看出密度曲线是标准的钟形分布，最后我在文中证明了其与正态分布的联系：
7的双阶乘是105。7的双阶乘=7x5x3x1=105。由于正整数的阶乘是一种连乘运算，而0与任何实数相乘的结果都是0。所以用正整数阶乘的定义是无法推广或推导出0！=1的。即在连乘意义下无法解释0！=1。给“0！”下定义只是为。
而伽马函数（阶乘）依然起到了枢纽的作用，并且我们再次看到了老朋友.
7!=7×6×5×4×3×2×1=
总结
尽管学过乘法的小学生就可以计算阶乘，然而阶乘的身上仍然充斥着未解之谜。本文从中学生较为熟悉的排列组合以及初等数论入手，然后又介绍了其「高阶版本」——伽马函数，展示了其在高等数学中无处不在的身影，体现出数学一以贯之的美感。
数学英才
中学生英才计划
数学学科官方公众号
推送数学微慕课和学习资料
